Интерференция

Лекция 12

Согласно принципусуперпозиции, световые волны распространяются в пространстве независимо друг от друга. В каждой точке пространства и в каждый момент времени поле представляет собой векторную сумму напряженностей электромагнитных полей, составляющих эти волны. Если на их пути распространения поместить приемник излучения – экран, фотоэмульсию, фотодетектор и т.п., то в силу огромной частоты световых колебаний этот приемник будет квадратичным детектором, и он зафиксирует лишь энергию светового излучения. Т.е. если , где - векторная комплексная амплитуда каждой волны, то фотоприемник зафиксирует интенсивность

(1)

где - интенсивность светового потока каждой волны.

В полученном выражении первый член представляет собой сумму интенсивностей световых потоков, а удвоенная сумма произведений – так называемый перекрестный или интерференционный член, который собственно и описывает интерференцию. В общем случае есть функция времени и если скорость ее изменения значительно больше, чем время наблюдения, то в результате усреднения значения косинусов равно нулю и интерференция не наблюдается. Таким образом, для получения интерференции необходимо, чтобы значения разностей фаз было неизменным на протяжении достаточно большого промежутка времени. Это обстоятельство называется условием когерентности.

В обычных условиях интерференция не наблюдается по следующей причине. Обычные источники света состоят из множества элементарных – атомов, каждый из которых испускает свет порциями, т.н. цугами, причем независимо друг от друга. По этой причине в каждую точку наблюдения попадает множество лучей от разных независимых элементарных источников, и все косинусы, входящие в (1) равны нулю. При этом наблюдается простое сложение освещенностей, создаваемых каждым источником. Следовательно, для наблюдения интерференции необходимо либо добиться того, чтобы в каждую точку экраны попадали лучи, вышедшие из одной точки с временными задержками, не большей длительности цуга (т.е. выполнились условия когерентности), либо что бы все атомы испускали цуги синхронно (когерентные источники света – лазеры).

Двулучевая интерференция. Рассмотрим интерференцию двух когерентных пучков. Будем считать среды изотропными, поэтому векторный характер поля можно не учитывать, т.е. ограничиться скалярной теорией (стрелочки над амплитудами можно опустить).

(2)

Распределение освещенности получится аналогично из (1) при

(3)

где

В (3) содержится информация о фазе световой волны, и это выражение часто называют основным уравнением интерференции. Интерференция, это единственный способ ее определения. Например, если мы направим на фотоприемник один пучок , то фотоприемник проделает следующую операцию

(4)

и информация о фазе теряется.

Пусть интерферируют два пучка с постоянными (для простоты) фазами . В выражении (3) единственной переменной величиной является и максимальное значение освещенности достигается при , при этом

и .

(5)

Минимум появится, соответственно, при . При этом

и .

(6)

Разность хода связана с разностью фаз соотношением

.

(7)

В соответствии в этим, для максимума, разность хода между интерферирующими лучами должна быть

,

(8а)

а для максимума

.

(8б)

Определим контраст интерференционной картины. Контраст определяется как

.

(9)

Подставляя сюда значения из (5) и (6) получим

.

(10)

Так как , то максимальный контраст будет при , откуда или .

Рассмотрим в общем случае интерференционную картину для произвольного значения разности фаз Такая картина представляет собой совокупность полос разной формы, которые можно определить из условия например при - светлые полосы, или при - темные полосы. Рассмотрим для определенности случай светлых полос. Для этого надо решить уравнение , откуда , или выражая фазу через длину оптического пути , получим, что полосы образуются при условии , т.е. интерференционная картина представляет собой сечение волнового фронта плоскостями, отстающими друг от друга по высоте на .

Интерференция двух плоских волн. Рассмотрим интерференцию двух плоских волн, векторы направлений которых расположены в плоскости . В плоскости находится плоскость наблюдения – экран. Одна из волн распространяется по оси (угол падения ). Направление второй составляет с этой осью малый угол (угол падения равен ), т.е. она является наклонной по отношению к направлению нормали (рис.2А). Уравнения для этих волн имеют вид

(11)

Применяя к (11) формулу (3) для распределения освещенности в интерференционной картине получим выражение

(12)

Так как это не зависит от , то это распределение будет представлять систему параллельных оси полос с синусоидальным распределением плотности и с периодом, определяемым аргументом косинуса , откуда положение -ой полосы получится из соотношения , т.е. . Расстояние между полосами

(13)

является постоянной величиной (рис.2Б).

Интерференция сферической и плоской волн. Пусть интерферируют плоская и сферическая волны, при этом плоская волна распространяется по оси (), а радиус сферической волны равен , а ее центр расположен на оси . Уравнения для этих волн имеют вид

(14)

По аналогии с (12) выражение для распределения освещенности будет

(15)

Так как координаты в данном и выражении представлены в комбинации (уравнение окружности), то интерференционная картина представляет собой систему концентрических колец, радиусы которых, например, для светлых полос получатся из условия максимумов освещенности, возникающих при условии Отсюда , где -радиус -го светлого кольца. Выражение для него имеет вид

. (16)

Расстояние между кольцами

. (17)

Когерентность. В общем случае при наложении световых волн интерференции не наблюдается. Они могут интерферировать лишь при определенных условиях и, как было показано, эти условия представляют собой условия постоянства фаз между взаимодействующими цугами за время наблюдения.

Таким образом, для получения интерференции необходимо обеспечить взаимодействие двух световых волн, полученных путем разделения из одного цуга так, что бы эти волны были сдвинуты друг относительно друга не более чем на длину цуга , где - длительность цуга - время жизни атома, - скорость света.

Условие интерференции называют также условием когерентности, которое можно более точно определить как меру способности волны интерферировать саму с собой или с другой волной. Различают временную когерентность и пространственную.

Пространственная когерентность. Опыт Майкельсона. Такая характеристика когерентности возникает из-за конечности длины цуга. Временную когерентность можно проиллюстрировать на примере интерферометра Майкельсона.

Световой поток от источника 1, попадая на делитель 2, расщепляется на две ветви. Отразившись от зеркал 3 и 4, расположенных на разных расстояниях и от делителя, эти потоки объединяются и попадают на экран 5.где интерферируют. В зависимости от разности расстояний контраст интерференционной картины падает, так как взаи модействуют разные участки цуга, а амплитуда колебаний в цуге зависит от расстояния от его начала (рис. 3). Наконец, может наступить такой момент, что контраст исчезнет, точнее, упадет до заданной величины. В этом случае значение будет длиной цуга или длиной временной когерентности. Этот тип когерентности называется так, потому что в данном эксперименте происходит запаздывание одной части световой волны по отношению к другой, т.е. интерферометр является линией задержки.

Величину можно определить из следующих соображений. Известно, (например, при рассмотрении фазовой и групповой скорости), что если имеет конечное значение, то цуг содержит набор частот связанный со значением соотношением , но . Так как , то ; откуда и, наконец

,

(11)

(здесь дифференциал заменен на конечное приращение ).

Таким образом, длина когерентности обратно пропорциональна спектральному интервалу , который излучается источником. Из физики известно соотношение для ширины спектральной линии

,

(12)

где - основная длина волны спектральной линии, - абсолютная температура, - атомный вес. В частности, для паров кадмия , , , то и длина когерентности

(13)

Пространственная когерентность. Опыт Юнга. Такой тип когерентности можно понять из рассмотрения опыта Юнга. Суть его заключатся в следующем. Волновой фронт попадает на непрозрачный экран с двумя щелями в точках и . Согласно принципу Гюйгенса щели являются источниками вторичных сферических волн с фазами, равными фазам волны в этих точках. Эти волны будут интерферировать на экране . Если среда, в которой распространялась волна была однородна, то контраст в каждой точке экрана будет высоким при любом расстоянии между щелями. Однако если среда содержала случайные неоднородности, то разность фаз в точках и будет также содержать случайные составляющие, при этом их доля будет в прямой зависимости от расстояния , что скажется на контрасте интерференционной картины. Таким образом, при увеличении расстояния контраст картины будет падать, и зависимость контраста от будет иметь вид, аналогичный приведенной на рис 3. Расстояние , при котором контраст упадет до некоторой пороговой величины, называется радиусом пространственной когерентности.

Сравнивая два типа когерентности, можно сказать, что временная когерентность зависит от источника света, а пространственная – от среды, в которой свет распространялся.