Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка в общем случае.

Общим уравнением второй степени называется уравнение

F (x ₁, …, x_n) = 0, (1)

где F (x ₁, …, x_n) – многочлен второй степени от n переменных x ₁, …, x_n. Многочлен F (x ₁, …, x_n) можно представить в виде суммы квадратичной формы f, линейной формы (однородного многочлена первой степени) и свободного члена с. Если через А обозначить матрицу квадратичной формы f, через Х – столбец неизвестных x ₁, …, x_n и через В – столбец из коэффициентов b ₁, b ₂, …, b_n линейной формы, то в матричном виде многочлен F можно записать в виде

F (x ₁, …, x_n) = Х ^Т АХ + 2Х ^Т В + с. (2)

При n = 2 уравнение (1) задает уравнение линии второго порядка на плоскости R ², а при n = 3 – уравнение поверхности второго порядка в пространстве R ³.

В аналитической геометрии для общего уравнения линии на плоскости или поверхности в пространстве ставится задача отыскания новой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение данной линии или поверхности принимает наиболее простой вид. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой может быть осуществлен в два приема:

1) параллельный перенос начала координат в новую точку с сохранением направления осей;

2) поворот осей при сохранении начала.

Формулы поворота осей вокруг неподвижного начала в матричной форме могут быть записаны так

X = QY, (3)

где Q – матрица второго или третьего порядка составленная из ортонормированной системы собственных векторов матрицы A квадратичной формы f. Это мы рассмотрели выше.

Формулы параллельного переноса начала, выражающие старые координаты точки через ее новые координаты, имеют вид

x_i = v_i + y_i, 1 ,

где v_i – координаты нового начала относительно старой системы координат(n = 2 или 3). Если через Х мы обозначим столбец из старых координат x_i, через Y – столбец новых координат y_i и через V – столбец из старых координат нового начала, то формулы параллельного переноса можно записать в виде матричного равенства

X = V + Y. (4)

Решим задачу упрощения уравнения при произвольном n в общем случае. Уточним предъявляемые требования:

1) избавиться от слагаемых, содержащих произведения разных переменных;

2) если возможно, то избавиться от слагаемых первой степени;

3) если возможно, то избавиться от свободного члена.

Уравнение, полученное при соблюдении этих требований, называется каноническим.

Задача. Всегда ли возможно при помощи преобразования X = V + Y в многочлене Х ^Т АХ + 2Х ^Т В + с избавиться от слагаемых, содержащих переменные в первой степени?

Решение. (для желающих). Подвергнем многочлен преобразованию

Как матрица квадратичной формы матрица А симметрична. Матрица первого порядка и поэтому совпадает со своей транспонированной:

Введем обозначение

ДЛЯ ВСЕХ. В преобразованном многочлене.

первые степени отсутствуют, если столбец V удовлетворяет условию . А это матричное уравнение относительно неизвестного столбца V не всегда разрешимо. При произвольном столбце В разрешимость можно гарантировать лишь при невырожденной матрице А. Если матричное уравнение разрешимо, то при помощи преобразования с ортогональной матрицей Q многочлен F приводится к каноническому виду. Этот случай соответствует в аналитической геометрии центральным линиям и поверхностям второго порядка.

Задача. Привести к каноническому виду уравнение линии: