Нормальный закон распределения

График функции f₀(х) называется нормированной нормальной кривой, кривой ошибок или просто стандартной кривой (рис.7).

Функция f₀(х) и стандартная кривая имеют следующие свойства:

1) Область определения функции f₀(х) - вся числовая ось (-µ; +µ).

2) Функция f₀(х) может принимать только положительные значения: f₀(х)> 0, т.е. стандартная кривая расположена над осью 0 Х.

3) Ось 0 Х - горизонтальная асимптота стандартной кривой.

4) Стандартная кривая симметрична относительно прямой х=0.

5) При х=m= 0 стандартная кривая имеет максимум:

Рис.7. Стандартная (нормированная) кривая (график плотности распределения вероятностей случайной величины, имеющей нормированное нормальное распределение)

Рис.8. График интегральной функции распределения вероятностей случайной величины, имеющей нормированное нормальное распределение

6) При х_п=m ± s= ±1 нормальная кривая имеет перегиб:

3.2.Интегральная функция распределения нормированной нормальной случайной величины:

График функции F₀(х) приведен на рис.8. При х =0 функция F₀(х)= 0, 5.

3.3.Числовые характеристики нормированнойнормальной случайной величины:

Mатематическое ожидание, мода и медиана совпадают и равны нулю:

M(X)=Мо=Ме = 0.

Дисперсия D(X) =s²= 1.

Среднее квадратическое отклонение s(Х)=s= 1.

Коэффициент ассиметрии А =0.

Коэффициент эксцесса e= 3, эксцесс Е=e-3 =0.

3.4. Свойства нормированной нормальной случайной величины:

1) Вероятность попадания нормированной нормальной случайной величины Х в интервал (0; х) равна функции Лапласа (рис.7):

Геометрически функция Лапласа представляет собой заштрихованную площадь под стандартной кривой на отрезке (0; х).

2) Интегральная функция распределения случайной величины, имеющей нормированное нормальное распределение, выражается через функцию Лапласа по формуле:

F₀(х)= 0, 5 + Ф (х).

Геометрически (рис. 9) интегральная функция распределения представляет собой заштрихованную площадь под стандартной кривой на интервале (-µ; х). Она состоит из двух частей: первой, на интервале (-µ; 0), равной 0, 5, т.е. половине всей площади под стандартной кривой, и второй, на интервале (0; х), равной функции Лапласа.

Рис. 9. Стандартная кривая с заштрихованной площадью, численно равной интегральной функции распределения F₀(х)

3) Любую нормальную случайную величину можно преобразовать в нормированную:

если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и s, то случайная величина имеет нормированное (стандартное) нормальное распределение с параметрами m =0 и s =1.

ПРИМЕР 7. Доказать, что если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и s, то нормированная случайная величина имеет параметры распределения m =0 и σ =1.

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z:

При решении примера 7 использованы свойства математического ожидания и дисперсии, которые более подробно рассмотрены в методических указаниях [5]:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.

2. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий: М(Х ± У)=М(Х) ± М(У).

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).

4. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С)=0.

5. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме их дисперсий: D(Х ± У)=D(Х) + D(У).

6. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ)=С²D(Х).