Упражнения. Модуль 4. Линейные операторы

Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы

Глава 4.1. Линейные операторы

Линейные операторы в линейном пространстве

Линейным оператором, действующим в линейном пространстве V над полем K, называется отображение , для которого

Свойства линейного оператора

1) , где – нулевой вектор линейного пространства V/K;

2)

3)

4)

Доказательство.

1)

2)

3)

4)

Примеры.

1)Нулевой линейный оператор, который каждый элемент линейного пространства переводит в нулевой вектор.

2) Тождественный линейный оператор, который каждый элемент линейного пространства переводит в себя.

Упражнения

1) Является ли линейным оператор, действующий в трехмерном евклидовом пространстве геометрических векторов:

а) б) в) г)

д) е) ё)

где а – фиксированный вектор, – число, (х, а) – скалярное произведение.

2) Является ли линейным оператор, действующий в трехмерном арифметическом пространстве:

а) б) в)

3) Докажите, что – линейный оператор одномерного линейного пространства над полем K тогда и только тогда, когда существует элемент из поля K, для которого , где х – любой вектор этого линейного пространства.

4) Какие из отображений являются линейными операторами линейного пространства многочленов степени

а) б) в)оператор дифференцирования г)оператор k -кратного дифференцирования д) е)

5) Линейное пространство Х является прямой суммой подпространств L ₁ и L ₂. Докажите, что оператор Р проектирования линейного пространства Х на L ₁ параллельно L ₂, который каждому вектору х ₁ + х ₂ из Х ставит в соответствие вектор х ₁, линейный; х ₁ х _{2 .}

6) Линейное пространство Х является прямой суммой подпространств L ₁ и L ₂. Докажите, что оператор R отражения линейного пространства Х на L ₁ параллельно L ₂, который каждому вектору х ₁ + х ₂ из Х ставит в соответствие вектор х ₁ – х ₂, линейный; х ₁ х _{2 .}

7) В линейном пространстве Х над полем K фиксирован базис . Докажите, что соответствие, относящее каждому вектору Х линейного пространства его i- ю координату в этом базисе, линейное отображение из Х в K.

8) Докажите, что линейный оператор, действующий в одномерном линейном пространстве над полем K, сводится к умножению вектора пространства на фиксированный элемент поля.

9) Докажите, что линейный оператор линейно зависимую систему переводит в линейно зависимую. Верно ли аналогичное утверждение для линейно независимой системы векторов?

10) Верно ли утверждение: линейный оператор эквивалентные системы переводит в эквивалентные?