Уравнение Бернулли.

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения и перепада высоты была установлена в математической форме Д. Бернулли в 1738 году.

Наиболее просто уравнение Бернулли можно вывести, если применить закон сохранения механической энергии к потоку жидкости. Для движения идеальной жидкости закон сохранения применим, т.к. в идеальной жидкости нет сил трения.

Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Выделим некоторый объем жидкости между сечением АВ и сечением CD в узкой части (рис. 2.2.).

Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в широкой части соответственно равны S₁, p₁, v₁, а в узкой части – S₂, p₂, v₂.

Рис. 2.2.

Если жидкость течет слева направо, то под действием сил давления F₁ и F₂ и силы тяжести выделенный объем жидкости за малое время Dt сместится вправо и займет часть трубы, ограниченную сечениями А₁В₁ и C₁D₁. Силы давления F₁ и F₂ совершат работу

A = A₁ + A₂ = F₁l₁ – F₂l₂ = p₁S₁v₁Dt – p₂S₂v₂Dt.

Существенно, что при стационарном течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями S₁ и S₂ (рис 2.2.), остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем АВВ₁А₁, переместилась бы и заняла объем СDD₁C₁. Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии элемента жидкости, переходящей из области АВВ₁А₁ в область СDD₁C₁. Работа внешних сил давления согласно закону сохранения энергии равна изменению энергии этого элемента. Его объем DV не изменяется вследствие несжимаемости жидкости.

Изменение энергии этого элемента жидкости равно:

DE = DE_k + DE_p= rDV() + rg(S₂l₂h₂ – S₁l₁h₁).

Учитывая, что DЕ = А, получим:

rDV() + rg(DVh₂ - DVh₁) = p₁S₁v₁Dt - p₂S₂v₂Dt.

Так как S₁v₁Dt = S₂v₂Dt = DV, то после сокращения на DV находим:

r - r + rgh₂ - rgh₁ = p₁ – p₂.

Откуда

Это и есть уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости.

Если труба горизонтальна, то h₁ = h₂ и уравнение принимает вид:

Уравнение (4) показывает, что с увеличением скорости течения (v ₂ > v ₁) давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе, уменьшается.