Колебательные переходные процессы

Уравнение нелинейной системы (рис. 6.20), как известно, имеет вид

Q(p)x + R(p)F(x) = 0 (6.45)

В линейных системах синусоидальные переходные коле­бания имели вид

(6.46)

Рис, 6.19. Рис. 6.20.

(6.47)

X = asinψ, px = α ω cosψ + α ξ sinψ

,

(6.48)

(6.49)

X(α, ω, ξ) =0 Y(α, ω, ξ) = 0 (6.51)

Рис.6.21

(6.52)

Рис.6.22.

Рис.6.23

Рис.6.24.

Введем в рассмотрение текущую «постоянную времени»

(6.53)

Рис.6.25

Гармоническая линеаризация нелинейности дает

F(x) = q(α)x

Характеристическое уравнение замкнутой системы в результате получает вид

Подставляя в это уравнение λ = ξ +jω, ищем решение в форме (6.47).

Рис. 6.26.

Рис. 6.27

Выделив вещественную и мнимую части, получим два уравнения (6.51) в виде

Из второго уравнения с учетом значения q(α) находим

(6.54)

а из первого

(6.55)

где

По формулам (6.54) и (6.55) построены диаграммы качества нелинейных колебательных переходных процес­сов в виде линий ξ = const и ω = const по параметру k₁ на рис. 6.27 и по параметру k_oc — на рис. 6.28

Рис. 6.28

Рис. 6.29

Рис.6.30

Нелинейная характеристика F(x)расположена в секто­ре [0, k_m](рис. 6.31, б)и может иметь произвольное очертание. Данный способ оценки быстроты затухания

Рис 6.31

На комп­лексной плоскости вместо модифицированной (5.48) стро­ится смещенная частотнаяхарактеристика, определяе­мая следующим образом:

(6.56)

где

Можно определить предельное значение k_m, при ко­тором в системе имеет место показатель затухания, не меньше ‌ ‌, как показано на рис. 6.33.

Рис.6.32 Рис.6.33

Если построить серию смещенных частотных харак­теристик для разных значений ξ, то получим зависи­мость ξ (k_m), т. е. зависимость показателя затухания от размера сектора, в котором лежит нелинейная характе­ристика.