Определение схемных функций методом эквивалентных схем на основе координатных уравнений для координат (КК-уравнений) в сокращенном гибридном координатном базисе (СГКБ).

Замещая биполярные транзисторы заданными эквивалентными схемами, получаем схему замещения усилителя, содержащую только двухполюсные электронные компоненты (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Схема замещения избирательного усилителя, содержащая двухполюсные электронные компоненты

На схеме рис. 6.4 все величины, относящиеся к транзистору VT1, обозначены одним штрихом, а относящиеся к транзистору VT3 – двумя штрихами. Для сокращения размерности математической модели параллельно включенные ветви с сопротивлением и проводимостью представлены эквивалентной ветвью с проводимостью , а параллельно включенные ветви с сопротивлением и проводимостью - эквивалентной ветвью с проводимостью . Схемные функции характеризуют анализируемую электронную схему как четырехполюсник, поэтому входную и выходную ветви следует представить идеальными источниками тока или напряжения, отражающими второстепенные величины одной из систем параметров четырехполюсника. В качестве системы параметров четырехполюсника выберем систему z-параметров, тогда второстепенными величинами являются входное и выходное напряжения, а входная и выходная ветви представляются идеальными источниками э.д.с. и .

Полюсный граф усилителя, соответствующий схеме замещения рис. 6.4, представлен на рис. 6.5.

Рис. 6.5 Полюсный граф избирательного усилителя

В графе ветви, содержащие независимые и зависимые источники э.д.с., а также управляющий по току двухполюсник с сопротивлением представлены z-ребрами. Направления ребер, отображающих источники э.д.с. выбраны противоположно направлениям соответствующих источников, а направление ребра, отображающего управляющий двухполюсник, согласно с направлением управляющего тока. Ветви, содержащие зависимые источники тока вместе с параллельно включенными ветвями, а также ветви, содержащие емкости, представлены y-ребрами. Направления ребер, отображающих ветви с источниками тока, выбраны согласно с направлениями соответствующих источников, а направления ребер, отображающих емкости, выбраны произвольно. Все оставшиеся ветви схемы замещения представлены взаимно определенными ребрами, направления которых выбраны произвольно. На рис. 6.5 y-ребра показаны сплошными, z-ребра – пунктирными, а взаимно определенные ребра – штрих-пунктирными линиями.

С целью оптимального разбиения взаимно определенных ребер, обеспечивающего образование максимального количества вырожденных координат, преобразуем граф рис. 6.5 путем закорачивания всех y-ребер и размыкания всех z-ребер. В результате получаем граф, приведенный на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Граф взаимно определенных ребер

Граф рис. 6.6 показывает, что ребра 8, 10, 12, 14, 19 следует отнести к у-ребрам, а ребро 3 – к z-ребрам (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Полюсный граф избирательного усилителя с оптимальным разбиением ребер

Для определения количества вырожденных координат и выбора дерева построим y-граф (рис. 6.8) путем размыкания всех z-ребер графа рис. 6.7.

Рис. 6.8. Граф y-ребер

Используя исходный граф рис. 6.7 и y-граф рис.6.8, находим: , , , . Таким образом, в графе рис. 6.7 может быть образовано вырожденных контуров и вырожденных сечений.

Для обеспечения максимального количества вырожденных координат (4 вырожденных контуров и 1 вырожденного сечения) необходимо сначала построить лес y-графа, а затем достроить лес до дерева исходного графа за счет z-ребер. Лес y-графа содержит ребер и показан на рис. 6.9, где ребра леса выделены жирными линиями.

Рис. 6.9. Лес y-графа

В состав дерева исходного графа должно входить ребер. Для построения дерева необходимо лес y-графа дополнить одним z-ребром, связывающим части y-графа. В качестве такого z-ребра можно использовать ребра 1, 3 или 4. Включим в состав дерева графа рис. 6.7 ребро 4.

Выбранное дерево определяет систему главных сечений и главных контуров. Сечение, которому инцидентно z-ребро дерева 3, а также контуры, которым инцидентны y-хорды 5, 7, 9 и 10, являются вырожденными, и по этой причине исключаются из системы координат. Таким образом, сокращенный гибридный координатный базис содержит невырожденных сечений и невырожденных контуров, обозначенных на полюсном графе рис. 6.10. Для удобства формирования топологических подматриц y-ребра и z-ребра полюсного графа пронумерованы независимо друг от друга.

Рис. 6.10. Система координат в сокращенном гибридном координатном базисе

Для формирования системы топологических уравнений составим подматрицу невырожденных сечений для y-ребер, подматрицу невырожденных сечений для z-ребер, подматрицу невырожденных контуров для y-ребер и подматрицу невырожденных контуров для z-ребер.

Подматрица невырожденных сечений для y-ребер имеет размерность :

.

Подматрица невырожденных сечений для z-ребер имеет размерность :

.

Подматрица невырожденных контуров для y-ребер имеет размерность :

.

Подматрица невырожденных контуров для z-ребер имеет размерность :

.

Обобщенное матричное топологическое уравнение имеет вид:

или

, (6.1)

где , - обобщенные топологические матрицы; , - обобщенные векторы токов и напряжений ребер графа, причем

-

вектор токов y-ребер;

-

вектор напряжений y-ребер;

- вектор токов z-ребер;

- вектор напряжений z-ребер.

Так как в графе рис. 6.10 все управляющие по току ребра отнесены к z-ребрам, а все управляющие по напряжению ребра – к y-ребрам, обобщенное матричное компонентное уравнение имеет вид

, (6.2)

где - обобщенная компонентная матрица; - обобщенный вектор внешних воздействий; - матрица проводимостей y-ребер; - матрица сопротивлений z-ребер; - матрица управляющих параметров источников тока, управляемых током; - матрица управляющих параметров источников напряжения, управляемых напряжением; - вектор задающих токов; - вектор задающих э.д.с..

Схема замещения избирательного усилителя рис. 6.4 не содержит источников тока, управляемых напряжениями, поэтому матрица проводимостей y-ребер является диагональной матрицей 13-го порядка:

.

Схема замещения избирательного усилителя рис. 6.4 не содержит источников напряжения, управляемых токами, поэтому матрица сопротивлений z-ребер является диагональной матрицей 6-го порядка:

.

Схема замещения избирательного усилителя рис. 6.4 содержит 3 источника тока, управляемых токами, поэтому матрица управляющих параметров N имеет вид

.

Схема замещения избирательного усилителя рис. 6.4 содержит 2 источника напряжения, управляемых напряжениями, поэтому матрица управляющих параметров M имеет вид

.

Поскольку задающие источники в схеме замещения рис. 6.4 являются источниками э.д.с., вектор задающих токов вектор задающих э.д.с. имеют вид:

; .

В сокращенном гибридном координатном базисе напряжения y-ребер и токи z-ребер связаны с напряжениями невырожденных сечений и токами невырожденных контуров соотношениями:

, ,

которые можно представить в обобщенной матричной форме

или

, (6.3)

где - вектор напряжений невырожденных сечений; - вектор токов невырожденных контуров; - обобщенный вектор состояния, определяемый невырожденными координатами.

Для формирования системы координатных уравнений для координат подставим обобщенное компонентное уравнение (6.2) в обобщенное топологическое уравнение (6.1) и выразим в полученном матричном уравнении вектор через обобщенный вектор состояния с использованием соотношения (6.3):

или

, (6.4)

где - матрица эквивалентных параметров; - обобщенный вектор внешних воздействий.

При замещении входной и выходной ветвей схемы источниками э.д.с. электрическое состояние схемы, как четырехполюсника характеризуется системой уравнений в z-параметрах:

. (6.5)

Второстепенные величины четырехполюсника и связаны с параметрами источника сигнала и нагрузки соотношениями:

, . (6.6)

Из решения системы (6.5) совместно с соотношениями (6.6) следуют выражения для схемных функций:

, (6.7)

, (6.8)

. (6.9)

Поскольку задающие источники схемы замещения рис. 6.4 являются источниками э.д.с., расположенными во входной и выходной ветвях, матричное уравнение (6.4) может быть представлено в виде:

, (6.10)

где , - столбцы обобщенной топологической матрицы , соответствующие входному и выходному ребрам графа. Так как эти ребра относятся к z-ребрам, столбцы и имеют вид:

, , (6.11)

где , - столбцы матрицы невырожденных контуров, соответствующие входному и выходному ребрам графа.