Решение. а) Заметим, что член последовательности с номером равен и больше

а) Заметим, что член последовательности с номером равен и больше . Это и означает по определению, что – неограниченная последовательность.

б) Очевидно, что в интервале находятся все члены последовательности с нечетными номерами, а значит, в этом интервале находится бесконечно много членов последовательности. Отсюда следует, что не является бесконечно большой.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть и - бесконечно малые последовательности. Тогда для любого ε > 0 существуют номера n ₁(ε /2) и n ₂(ε /2) такие, что для всех n > n ₁(ε /2)выполняется неравенство | x_n |< ε /2 и n ₂(ε /2) | y_n |< ε /2. Тогда, полагая n ₀=max(n ₁(ε /2), n ₂(ε /2)), получим, что для любого n > n ₁ | x_n ± y_n |≤ | x_n |+| y_n |< ε /2+ ε /2= ε. Следовательно, { x_n ± y_n } – бесконечно малая последовательность.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть { х_n } – бесконечно малая последовательность, а { у_n } – ограниченная последовательность, т.е. существует такое число М > 0, что для всех натуральных номеров выполняется неравенство │ y_n │ ≤ М.

Зададим ε > 0, в силу определения бесконечно малой последовательности существует такой номер N, что для всех n ≥ N выполняются неравенства │ x_n │ < . Поэтому для всех n ≥ N имеем │ x_ny_n │ =│ x_n │ │ y_n │ < M = ε, что и означает, что последовательность { x_ny_n } бесконечно малая.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3. Если последовательность – бесконечно большая, то начиная с некоторого номера определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если последовательность – бесконечно малая и , то последовательность является бесконечно большой.

Пример 2. Доказать, что последовательность является: а) бесконечно большой при ; б) бесконечно малой при .