Основные теоремы о пределах

Теорема. Для того чтобы последовательность имела пределом число А необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде = А+ , где -

бесконечно малая последовательность.

Теорема 1. Пусть и . Тогда:

а) ;

б) ;

в) если , то начиная с некоторого номера определена последовательность и .

Если , то называют неопределенностью типа . Аналогично определяются неопределенности типа , , . В этих случаях теорема 1 неприменима.

1. Доказать, что (указать ).

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. Доказать ограниченность или неограниченность последовательностей .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

3. Установить, являются ли последовательности бесконечно большими, бесконечно малыми или не являются ни бесконечно большими, ни бесконечно малыми.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) 4

9) ; 10) .