![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля.
43. Вихревое электрическое поле. Для объяснения возникновения индукционного тока в неподвижных проводниках {второй опыт Фарадея) Максвелл предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре (первое основное положение теории Максвелла). Циркуляция вектора напряженности По определению поток вектора Здесь и в дальнейшем мы используем частную производной по времени, поскольку в общем случае электрическое поле может быть неоднородным, и может зависеть не только от времени, но и от координат. Таким образом, циркуляция вектора Суммарное электрическое поле складывается из электрического поля, создаваемого зарядами Это — первое уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля. 44. Ток смещения. Максвелл предположил, что аналогично магнитному полю и всякое изменение электрического поля вызывает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле (второе основное положение теории Максвелла). Поскольку магнитное поле есть основной, обязательный признак всякого тока, то Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения, в отличие от тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц. Надо сказать, что термин ток смещения не является удачным. Он имеет некоторое основание в случае диэлектриков, так как в них действительно смещаются заряды в атомах и молекулах. Однако понятие тока смещения применяется и для полей в вакууме, где никаких зарядов, а следовательно и никакого их смещения нет. Тем не менее этот термин сохранился в силу исторических традиций. Плотность тока смещения: Следует подчеркнуть, что ток смещения определяется производной вектора Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутри проводника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутри проводника имеется и ток проводимости, и ток смещения и магнитное поле проводника определяется суммой этих двух токов. Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения. Плотность полного тока Полный ток всегда замкнут. На концах проводников обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (или в вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости. Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора НЛ использовав полный ток: Обобщенная теорема о циркуляции вектора 45. Полная система уравнений Максвелла. Третье уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля это теорема Гаусса для поля Четвертое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса для поля Таким образом, система уравнений Максвелла в интегральной форме
Для того, чтобы эта система уравнений была полной ее необходимо дополнить такими соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды, в которой возбуждаются электрические и магнитные поля. Эти соотношения называются материальными соотношениями:
где Из уравнений Максвелла следует, что — источниками электрического поля являются либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, — магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями, — переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле. Для стационарных полей (Е = const и В = const) уравнения Максвелла имеют вид
В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поле. Воспользуемся известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса (см. стр.1-31): По определению, дивергенцией и ротором векторного поля А в данной точке Л/ называют следующие производные по объёму:
где интегралы Дивергенция есть мера источников поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то векторное поле в этой области свободно от источников. Те точки поля, в которых дивергенция положительна, называются источниками поля, а в которых отрицательна — стоками векторного поля Используя теоремы Стокса и Гаусса, можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства): Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных. Так, например, уравнение В случае если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная - эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва — поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей. Для того чтобы эти уравнения Максвелла в дифференциальной форме были справедливы и на границах сред, где величины, входящие в уравнения, меняются скачкообразно, необходимо дополнить эти уравнения граничными условиями, которым должно удовлетворять магнитное поле на границе раздела двух сред. Эти соотношения были рассмотрены ранее:
(первое и последнее уравнения выведены для случая, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости). Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике.
12. Электрический колебательный контур. Электрическим колебательным контуром называется электрическая цепь состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L,
По закону Ома для участка цепи
где q и разность потенциалов его обкладок в произвольный момент времени t; R — электрическое сопротивление колебательного контура; 13. Стадии колебаний в идеализированном колебательном контуре. Идеализированный колебательный контур — колебательный контур, у которого R - 0. Пусть в начальный момент времени t=0 конденсатор заряжен зарядом q. Тогда энергия электрического поля между обкладками конденсатора возрастать. Поскольку потерь в контуре нет (R-0), то полная энергия W=We+Wm сохраняется. В момент времени Стадии колебаний в контуре можно сопоставить с аналогичными стадиями механических колебаний, например, математического маятника, который в момент времени t = 0 смещен из положения равновесия и имеет максимальную потенциальную энергию E = U max. В момент времени Начиная с момента времени Для маятника это будет соответствовать максимальному смещению в направлении, противоположном первоначальному, остановке маятника в крайнем положении (υ =0) и обратному превращению кинетической энергии в потенциальную. Далее, все процессы в колебательном контуре будут протекать в обратном направлении и система к моменту времени t = Т придет в первоначальное состояние. Таким образом, в колебательном контуре происходят периодические изменения заряда q на обкладках конденсатора и силы тока I. Эти электрические колебания сопровождаются превращением энергий электрического и магнитного полей. Из сравнения электрических колебаний с механическими колебаниями, следует, что: — энергия электрического поля конденсатора аналогична потенциальной энергии маятника, — энергия магнитного поля катушки аналогична кинетической энергии маятника, — сила тока в контуре аналогична скорости движения маятника, — индуктивность L выполняет функцию массы, — сопротивление R играет роль силы трения, действующей на маятник. 14. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре. Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре: Заряд q совершает гармонические колебания по закону: где < 7ти - амплитуда колебаний заряда с циклической частотой: и периодом:
Эта формула называется — формула Томсона. Сила тока в колебательном контуре:
Здесь Разность потенциалов обкладок конденсатора где
Величина 26. Примеры свободных затухающих колебаний Рассмотрим затухающие колебания различной физической природы: 1) механические колебания — пружинный маятник с массой m, который совершает малые колебания под действием упругой силы F = —kх и силы трения 2) электромагнитные колебания — колебания в колебательном контуре состоящем из сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Будем сравнивать оба случая с дифференциальным уравнением cвободных затухающих колебаний линейной системы решение которого имеет вид
27. Вынужденные колебания. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону: В случае механических колебаний таким фактором является вынуждающая cuлa В случае электрического колебательного контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя ЭДС или переменное напряжение U = Um cosω t. Уравнение колебаний в контуре будет иметь вид В общем виде дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид Это уравнение — линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его р ешение равно сумме общего решения где А и ω задаются формулами Так для электромагнитных колебаний, если обозначить a — сдвиг по фазе между зарядом и приложенным напряжением, то можно показать, что решение дифференциального уравнения будет иметь вид где
|