Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:

Найдем математическое ожидание X:

M(Х) = 1*0, 6 + 2*0, 2 + 5*0, 19 + 100*0, 01 = 2, 95.

Напишем закон распределения X².

Найдем математическое ожидание X²:

М (X²) = 1*0, 6 + 4*0, 2 + 25*0, 19+ 10000*0, 01 = 106, 15.

Видим, что М(X²) значительно больше М(X). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X², соответствующее значению x=100 величины X, стало равным 10000, т.е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0, 01).

Таким образом, переход от М(X) к М(X²) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина Х имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине Х², а тем более к величинам X³, X⁴ и т. д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X^k:

ν _k = M(X^k)

В частности, ν ₁ = M(X), v₂ = M(X²).

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии

D(Х) = M(X²) – [M(X)]² можно записать так:

D(X) = ν ₂ – ν ₁²

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения Х – М(Х).

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (X – M(X))^k:

μ _k = M[(X – M(X))^k]

В частности,

μ ₁ = M[X – M(X)] = 0

μ ₂ = M[(X – M(X))²] = D(X)

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая первую и третью формулы, получим

μ ₂ = ν ₂ – ν ₁²

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

μ ₃ = ν ₃ – 3ν ₂ν ₁ + ν ₁³

μ ₄ = ν ₄ – 4ν ₃ν ₁ + 6ν ₂ν ₁² – 3ν ₁⁴

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Замечание. Моменты, рассмотренные здесь, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.

Задачи

1. Известны дисперсии двух независимых случайных величин: D(Х) = 4, D(Y) = 3, Найти дисперсию суммы этих величин.

Отв. 7.

2. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) X –1; б) – 2Х; в) 3Х + 6.

Отв. а) 5; б) 20; в) 46.

3. Случайная величина X принимает только два значения: +С и –С, каждое с вероятностью 0, 5. Найти дисперсию этой величины.

Отв. С².

4. Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распре деления

Отв. 67, 6404.

5. Случайная величина X может принимать два возможных значения: х₁ с вероятностью 0, 3 и х₂ с вероятностью 0, 7, причем х₂ > x₁. Найти х₂ и x₁, зная, что М(Х) = 2, 7 и D(X) = 0, 21.

Отв. х₁ = 2, х₂ = 3.

6. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений событий А в двух независимых испытаниях, если М (X) = 0, 8.

Указание. Написать биномиальный закон распределения вероятностей числа появлений события А в двух независимых испытаниях.

Отв. 0, 48.

7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p₁=0, 3; р₂=0, 4; р₃=0, 5; р₄=0, 6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Отв. 1, 8; 0, 94.

8. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0, 7.

Отв. 21.

9. Дисперсия случайной величины D(X) = 6, 25. Найти среднее квадратическое отклонение σ (Х).

Отв. 2, 5.

10. Случайная величина задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение этой величины.

Отв. 2, 2.

11. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

Отв. 4.

12. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.

Отв. 2, 5.