Основные свойства средней арифметической величины

Средняя арифметическая величина обладает многими математичес­кими свойствами, имеющими важное значение при ее расчете. Знание этих свойств помогает контролировать правильность и точность расчета средней варианты, способствует упрощению процесса расчета среднего значения признака.

Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных вариант от среднего значения равна нулю. Так, если индивидуальные от­клонения обозначить через l, то l1 = x1 – x; 12 = х2 - х;...; /п = хп - х; Сумма всех индивидуальных отклонений, например, в ранжированном ряду будет: ∑ l= ∑ х - ∑ хп. Поскольку х = ∑ x/n, то / ∑ l= ∑ х - ∑ x/n • п = 0.

Первое свойство теоретически доказывается и по отношению к сред­ней арифметической взвешенной. В этом случае сумма взвешенных по­ложительных отклонений от среднего значения признака равняется сум­ме взвешенных отрицательных отклонений, а общая сумма всех отклонений равна нулю, т. е. ∑ (x -х)f=0.

Первое свойство используется обычно для проверки правильности расчета средней арифметической величины. В результате округления средней сумма отклонений не всегда равна нулю, но чем она ближе к нему, тем средняя варианта рассчитана точнее. Например, по данным 20 сельскохозяйственных организаций при расчете средней взвешен­ной урожайности льносоломки применено округление с точностью до сотых долей тонны, а взвешенная сумма индивидуальных отклонений урожайности от средней составила, допустим, ± 0, 2 т. В этом случае можно считать, что средняя урожайность льносоломки найдена доста­точно верно, так как ошибка за счет округления средней незначительна. В самом деле, величина допущенной ошибки в расчете составит менее 0, 2% (0, 2 т- 100%): 1200га.

Второе свойство. Величина средней не изменится, если частоты (час­тости) или веса при каждой варианте признака увеличить или умень­шить в одинаковое число раз.

Действительно, если х = ∑ xf / ∑ f =x1f1+x2f2+ … +xnfn / f1+f2+… +fn, то например, перемножив все частоты на постоянную величину а, получим ту же величину средней:

X1(f1a) + x2(f2a)+ … +xn(fna) / f1a +f2a+ … +fna =a(x1f1 +x2f2 + … + xnfn) / a(f1+f2+ … +fn) = ∑ xf / ∑ f =x

Из второго свойства средней арифметической величины вытекают следующие важнейшие следствия:

- если частоты при всех вариантах равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней, т. е. при равнознач­ности частот в вариационном ряду можно вычислить вместо взвешенной величины простую;

- при расчете средней арифметической величины в качестве частот можно использовать частости, т. е. их удельный вес (доли) в общем ито­ге. Замену абсолютных частот частостями можно рассматривать как ум­ножение их на некоторый коэффициент.

Третье свойство. Если все индивидуальные варианты вариационного ряда увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя величи­на возрастает или уменьшится на это же число. Обычно в качестве посто­янного числа выбирается варианта, расположенная в середине вариаци­онного ряда, что позволяет значительно упростить нахождение средней. Расчет средней арифметической величины с применением этого свой­ства принято называть методом моментов; его можно записать в следующем виде:

х = ∑ xf / ∑ f = ∑ (x-a)f /∑ f + a

Четвертое свойство. Произведение средней величины на накопленнyю сумму частот равняется сумме произведения каждой варианты на ее частоту, т.е.

х∑ f = ∑ xf.

Это свойство вытекает из формулы средней арифметической взве­шенной величины, т. е. если

х = ∑ xf / ∑ f, то х∑ f = ∑ xf.

В сельскохозяйственной сфере АПК, например, произведение сред­ней урожайности на общую посевную площадь даст валовой сбор, а про­изведение среднегодового удоя на общее поголовье коров позволяет по­лучить валовой надой молока.

Применение основных свойств средней арифметической величины покажем на конкретном примере. Допустим, необходимо рассчитать среднюю урожайность по группе зерновых и зернобобовых культур в сельскохозяйственной организации. Посевные площади, урожайность культур, а также приемы использования второго и третьего свойств сред­ней арифметической величины приведены в табл. 4.

Таблица 4. Расчет средней взвешенной урожайности с применением