Средняя гармоническая величина

При условии подстановки в общую формулу (2) значения k = - 1 можно получить среднюю гармоническую величину, которая имеет про­стую и взвешенную формы. Название ее неслучайно, так эта средняя «гар­монирует» со средней арифметической величиной.

Для ранжированного ряда используется средняя гармоническая про­стая величина, которую можно записать так:

(10)

где п — общая численность вариант; 1/х - обратное значение варианты.

Допустим, имеются данные о том, что при перевозке картофеля ско­рость движения автомобиля с грузом составляет 30 км/ч, без груза — 60 км/ч. Необходимо найти среднюю скорость движения автомобиля. На первый взгляд, представляется совсем несложное решение задачи: применить способ средней арифметической простой величины, т. е.

_ ∑ x 30 + 60

х = — = --------- = 45 км/ч.

п 2

Однако, если иметь в виду, что скорость движения равна пройденно­му пути, разделенному на затраченное время, то совершенно очевидно,
что результат (45 км/ч) оказывается неточным, так как на прохождение
одного и того же пути автомобилем с грузом и без него (туда и обратно)
затраты времени будут существенно различаться. Следовательно, более
точная средняя скорость движения автомобиля с грузом и без может
быть рассчитана по средней гармонической простой величине:
n 1+1 2

X = ------------- = ------------------ = ------------------ = 40 км/ч

∑ (1: х) (1: 30) + (1: 60) 0, 033+ 0, 017

Таким образом, средняя скорость движения автомобиля с грузом и без составляет не 45, а 40 км/ч. В дискретных или интервальных рядах используется средняя гармоническая взвешенная величина:

(11)

где W — произведение варианты на частоту (взвешенная варианта, хf).

Средняя гармоническая взвешенная величина рассчитывается в сле­дующем порядке:

1) суммируются взвешенные варианты (∑ W );

2) находится произведение взвешенной варианты на обратное значение ее варианты ();

3) произведение суммируют ();

4) сумму взвешенных вариант (∑ W) делят на сумму полученных про­изведений, что и представляет собой среднюю гармоническую взвешен­ную величину.

Пример. Трудоемкость производства 1 т картофеля в первом под­разделении сельскохозяйственной организации составляет 10 чел.-ч., во втором — 30 чел.-ч. В обоих подразделениях на производство кар­тофеля затрачено по 30 тыс. чел.-ч. Необходимо рассчитать сред­нюю трудоемкость картофеля в сельскохозяйственной организации. Среднюю трудоемкость легко найти как полусумму трудоемкости картофеля в двух подразделениях, т. е. по способу средней ариф­метической простой величины:

∑ х 10 + 30
х = — =---- -----= 20 чел.-ч/т.

п 2

Однако при таком решении совершаются две ошибки. Первая заклю­чается в том, что при расчете средней трудоемкости по способу средней арифметической простой величины не учитывается сущность самой тру­доемкости, которая находится как отношение прямых затрат труда к объему продукции. Вторая ошибка состоит в том, что при решении не учтен приведенный по условию задачи конкретный объем затрат труда на производство картофеля (по 30 тыс. чел.- ч. в обоих подразделениях). Это позволяет рассчитать частоту (веса) для трудоемкости картофеля и таким образом найти среднюю арифметическую взвешенную трудоем­кость, что будет успешно заменено путем применения средней гармони­ческой взвешенной величины:

∑ W (30+30) 60 тыс.чел.-ч.

х =---------= --------------= -------------= 15чел.ч./т

∑ (W: х) (30: 10) + (30: 30) 4 чел. ч/т

Таким образом, средняя трудоемкость картофеля в сельхозорганизации составляет не 20, как было рассчитано ранее, а 15 чел.-ч/т.

Средняя гармоническая величина применяется главным образом в тех случаях, когда варианты ряда представлены обратными значениями, а частоты (веса) скрыты в общем объеме изучаемого признака.