Средняя квадратическая величина

При условии подстановки значения k=2 в формулу (2) получаем
среднюю квадратическую величину. В ранжированном ряду она рассчи­тывается по невзвешенной (простой) форме:

x =√ ∑ x² /n (7)

где х — варианты ранжированного ряда; п — общее число вариант.

Порядок расчета средней квадратической простой величины заклю­чается в следующем:

1.Каждая варианта ранжированного ряда возводится в квадрат (х²).

2.Квадраты вариант суммируются (∑ x²).

3.Сумму квадратов делят на общее число вариант в ранжированном ряду (∑ x² /n).

4. Из результата извлекают квадратный корень (√ ∑ x² /n), он пред­ставляет собой среднюю квадратическую величину для ранжированного ряда распределения.

Взвешенная форма средней квадратической величины, которая ис­пользуется для дискретного или интервального ряда, выражается следу­ющим образом:

x =

Для расчета средней квадратической взвешенной величины применя­ется такой порядок:

1) все варианты ряда возводят в квадрат (х²);

2) квадраты взвешивают по соответствующим им частотам (частостям)-(x² f)_;

3) взвешенные квадраты суммируют (∑ x² f);

4) суммируют общее число вариант ((∑ f);

5) сумму взвешенных квадратов делят на общее число вариант(∑ x² f /∑ f)

6) из полученного результата извлекают квадратный корень

что представляет собой среднюю квадратическую взвешенную величину.

Как самостоятельный вид средних она имеет ограниченное примене­ние. Допустим, две нестандартные цилиндрические емкости для хране­ния нефтепродуктов с диаметрами оснований 2 и 5 м необходимо заме­нить двумя новыми, равными по объему емкостями с одинаковым в основании диаметром. При расчете среднего диаметра оснований новых емкостей по способу средней арифметической простой величины, т. е.

х = ∑ x/n =2 +5 /2 = 3, 5 м, результат оказывается заниженным, и по этому диаметру объемы новых емкостей будут меньше объемов имеющихся емкостей, что не соответствует условию задания. Дело в том, что площа­ди оснований цилиндрических емкостей соотносятся между собой не линейно, а как квадраты их радиусов. Поэтому рассчитывать средний диаметр новых емкостей целесообразно по средней квадратической про­стой величине:

Таким образом, диаметр оснований новых емкостей должен быть не 3, 5, а 3, 8 м.

Если же исходные данные представлены в виде дискретного или ин­тервального ряда, то целесообразно применить способ средней квадратической взвешенной величины. Например, необходимо рассчитать сред­ний диаметр сосновых бревен по данным табл. 5.

Таблица 5. Число и размер бревен в штабеле

Диаметр бревен (варианта) представлен в виде интервального ряда, при этом число их (частота) по каждой группе кратно 10. Это означает, что при расчете среднего диаметра бревен в штабеле можно воспользо­ваться вторым свойством средней величины и сократить частоту каждой группы в 10 раз. Средний диаметр бревен в штабеле рассчитываем по формуле (8), (табл. 6).

Таблица 6. Порядок расчета среднего диаметра бревен в штабеле

С учетом применения второго свойства средних величин конечный расчет среднего диаметра бревен в штабеле принимает вид:

•

= √ 2171 =46, 5 см.

Таким образом, средневзвешенный диаметр сосновых бревен в шта­беле, рассчитанный по способу средней квадратической величины, со­ставляет 46, 5 см.

Главная сфера применения средней квадратической величины (в невзвешенной и взвешенной формах) — нахождение среднего квадратического отклонения.