Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Площадь многоугольника
|
|
Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение площади называют площадью, а численное значение длины отрезка - длиной.
Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.
Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» - численное значение длины отрезка.
Доказательство. Если F - данный прямоугольник, а числа a, b - длины его сторон, то S(F) = a ∙ b. Докажем это.
Пусть а и b - натуральные числа. Тогда прямоугольник F можно разбить на единичные квадраты (рис. 3): F = Е Å Е Å Е Å... Å Е. Всего их а∙ b, так как имеем b рядов, в каждом из которых а квадратов. Отсюда S(F) = S(E)+S(E)+…+S(E)= a∙ b∙ S(E) = a∙ b
Пусть теперь a и b - положительные рациональные числа: а = 
, b = 
, где m, n, p, q - натуральные числа.
Приведем данные дроби к общему знаменателю: а = 
, b = 
. Разобьем сторону единичного квадрата Е на nq равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат Е разделится на (пq)2 более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата Е1. Тогда S(Е) = (пq)2 ∙ S(E1), а поскольку S(Е)=1, то S(E1) = 
Так как а = , b = , то отрезок длиной 
укладывается на стороне a точно mq раз, а на стороне b - точно пр раз. Поэтому данный прямоугольник F будет состоять из mq ∙ np квадратов Е1. Следовательно,
S(F) = mq ∙ np ∙ S(E1) = mq ∙ np ∙ = 
= 
= a ∙ b
Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами а и b, то площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле S(Р) = а ∙ b.
Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются положительными действительными числами, мы опускаем.
Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Доказательство. Пусть АВСD - параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 4). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) =S(АВСD) + S(СDЕ).
Опустим перпендикуляр ВF из вершины В на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) = S(ВСЕF) + S(АВF).
Так как треугольники АВF и СDЕ равны, то равны и их площади.
Отсюда следует, что S(АВСD) = S(ВСЕF), т.е. площадь параллелограмма АВСD равна площади прямоугольника ВСЕF и равна ВС∙ ВF, а так как ВС = АD, то S(АВСD) = АD∙ ВF.
Из этой теоремы вытекает следствие: площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.
Заметим, что слова «сторона» и «высота» в данных утверждениях обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.
Теорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности - r, а площадь правильного многоугольника - S, то, согласно данной теореме, S = 
Р ∙ r.
Доказательство. Разобьем правильный n-угольник на п треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с центром вписанной окружности (рис.5). Эти
треугольники равны. Площадь каждого из них равна 
∙ r, где аn - сторона правильного n-угольника. Тогда площадь многоугольника равна ∙ r∙ n, но an ∙ n = Р. Следовательно, S = 
Если F - произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли полученные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказано, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.
Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.
Многоугольники F1 и F2 называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.
Например, равносоставлены параллелограмм АВСD и прямоугольник FВСЕ (рис. 4), так как параллелограмм состоит из фигур F1 и F2, а прямоугольник - из фигур F2 и F3, причем F1 = F3.
Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равновелики.
Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем математики П.Гервином была доказана теорема: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.
Теорема Бойяи-Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.
Доказательство теоремы Бойяи-Гервина достаточно сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равновеликий ему прямоугольник.
Пусть дан треугольник АВС (рис. 6). Проведем в нем высоту BD и среднюю линию KL. Построим прямоугольник, одной стороной которого является АС, a другая лежит на прямой KL. Так как пары треугольников АРК и КВТ, а также СLМ и ТВL равны, то треугольник АВС и прямоугольник АРМС равносоставлены.
5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
Мы выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые можно разбить этот многоугольник. А как находить площадь произвольной плоской фигуры? И что представляет собой число, выражающее эту площадь?
Пусть F - произвольная плоская фигура. В геометрии считают, что она имеет площадь S(F), если выполняются следующие условия; существуют многоугольные фигуры, которые содержат F (назовем их объемлющими); существуют многоугольные фигуры, которые содержатся в F (назовем их входящими); площади этих многоугольных фигур как угодно мало отличаются от S(F). Поясним эти положения. На рисунке 7 показано, что фигура Q содержит фигуру Р, т.е. Q, - объемлющая фигура, а фигура Р содержится в F, т.е. Р - входящая фигура. На теоретико-множественном языке это означает, что 
и, следовательно, можно записать, что 
.
Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству для любых многоугольных фигур P и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.
Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг F радиуса r вписывают правильный n-угольник Р, а около окружности описывают правильный n-угольник Q. Если обозначить символами S(Q) и S(P) площади этих многоугольников, то будем иметь, что , причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных многоугольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оставаться больше площади круга.
Площадь правильного n-угольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности. При возрастании числа его сторон периметр стремится к длине окружности 
, а площадь - к площади круга. Поэтому Sкр = 
= 
r 2.
Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы в частности, палетку.
Палетка - это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.
Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Р; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Q (рис. 8). Площади S(Р) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается среднее арифметическое найденных площадей:
S(F) = 
.
В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.
Нетрудно обосновать эти действия. Пусть m - число квадратов, которые поместились внутри фигуры F, а n - число квадратов, через которые проходит контур фигуры F. Тогда S(Р) = m, а S(Q) = m + n.
И значит, S(F) = 
= 
= 
Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.