![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Обратная засечка (задача Потенота)
Сущность обратной засечки заключается в определении положения четвертого пункта (точки стояния) по трем исходным. Эта задача встречается при создании съёмочных сетей, привязке аэрофотоснимков, выносе проектов в натуру и других случаях. Для ее решения предложено много аналитических и графических способов. При аналитическом способе задаются координаты трех исходных пунктов и измеренные углы или направления на определяемом пункте. На основе трех исходных пунктов задача решается без контроля правильности измерения углов и выборки исходных данных. Поэтому на практике используют четыре исходных пункта. Точность определения положения пункта обратной засечкой зависит от ошибок измерения углов, ошибок исходных данных и взаимного расположения пунктов. Если определяемый пункт находится вблизи окружности, проходящей через исходные пункты, то задача решается грубо. В связи с этим обратную засечку рекомендуется делать с предвычислением точности. В учебнике [1, §162] приводится решение обратной засечки с использованием формул Кнейссля, однако она требует графических построений или дополнительных расчетов. Приведем вывод формул, которые позволяют решить задачу с оценкой точности без графических построений.
Далее задача сводится к определению углов φ и ψ. Определим полусумму углов φ и ψ, которую обозначим как А
Определим полуразность этих углов, которую обозначим через В
Определим диаметры описанных окружностей около треугольников ABP и BCP:
Выразим сторону ВР через Д 1, Д 2 и углы φ и ψ.
Откуда
Разделив две части этого равенства на Д 1sin ψ, получим
Образуем пропорцию и введем обозначение N:
С учетом (32)
С учетом тригонометрических формул
Отсюда
Вычислив значения А и В, определим углы φ и ψ
φ = А+ В, (37)
ψ = А – В. (38)
Далее определим длину линии АР
и координаты точки Р:
Таким образом, задача решается по формулам 26–41. Для контроля координат точки Р можно вычислить второй раз, используя формулы
Среднюю квадратическую ошибку в положении пункта Р, определенного обратной засечкой, можно вычислить по формуле
где mβ – средняя квадратическая ошибка измерения углов β 1 и β 2. Рассмотренная обратная засечка по трем исходным пунктам называется однократной. В таком виде она, как правило, не допускается, т.к. не контролируется правильность измерения углов и выписка исходных данных. Для полного контроля наблюдается не 3, а минимум 4 пункта (рис. 2.23).
Рис. 2.23.
Задача решается дважды при различном сочетании исходных пунктов. Например, первый раз используются пункты А, В, С и второй раз пункты В, С, D. Для каждого варианта решения определяется средняя квадратическая ошибка положения пункта М по формуле (42). Ожидаемое среднее квадратическое значение Mr расхождения в положении пункта Р при двух решениях составит Отсюда допустимое расхождение в значениях вычисленных координат можно установить по формуле где X/ , Y/ – координаты точки из первого решения; X// , Y// – координаты точки из второго решения. За окончательное значение координат пункта Р берут среднее арифметическое, которое будет иметь ошибку
|