Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свойства средней арифметической
|
|
1)Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна 0.
; 
; 
; 
.
Это свойство средней, называется нулевым свойством, т.е. сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней взаимно погашаются.
2) Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней, есть величина минимальная.
; 
< 
.
Т.е. сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней, меньше отклонений индивидуальных значений признака от произвольно взятой величины А, которая как угодно мало отличается от средней.
3) Если к каждому значению признака (к каждой варианте) прибавить или отнять постоянное число А, то средняя изменится на это число.
Это свойство облегчает расчеты.
4)Если значение признака каждой единицы совокупности разделить или умножить на постоянное число А, то средняя уменьшится (увеличится) в А раз.
; 
5) Если все частоты (веса) разделить или умножить на одно и тоже число, то средняя не изменится.
Средняя гармоническая
В ряде случаев характер исходной информации не позволяет использовать среднюю арифметическую. В этом случае используются другие виды средних величин.
Пример. Имеются данные об индивидуальных затратах времени тремя рабочими на изготовление одной детали. Необходимо рассчитать общие средние затраты времени на изготовление этой детали.
| № рабочего | Средние затраты времени на одну деталь, час. |
| 0, 1 | |
| 0, 2 | |
| 0, 25 |
Общие средние затраты времени можно вывести из соотношения
Общие затраты времен
Количество изготовленных деталей; тогда:
Полученный результат является средней гармонической не взвешенной. Она рассчитывается по формуле:
где n-число случаев; х- значение признака.
Пример. Трое рабочих на производство 100 деталей затрачивают: 1-й -2, 5 ч.; 2-й – 3, 0ч.; 3-й- 3, 2ч. Определить средние затраты времени на изготовление: а) одной детали; б) 100 деталей.
0, 0287*60=1, 72 минуты на одну деталь; или
часа на изготовление 100 деталей.
Таким образом, средняя гармоническая невзвешенная является величиной обратной средней арифметической, из обратных значений признака.
Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается как средняя из средних по формуле:
, где
- определяющий показатель; 
среднее групповое значение признака.
Пример. По приведенным данным о средней заработной плате рабочих в двух цехах, рассчитать общую среднюю заработную плату по предприятию.
| № цеха | Средняя заработная плата, руб.- 
| Фонд заработной платы, руб.
|
| Итого | - |
Выбор формы средней величины обусловлен характером изучаемого явления. Для выбора формы средней (средней арифметической или гармонической) необходимо:
а) написать исходное соотношение, из которого требуется определить среднюю величину;
б) если в исходном соотношении отсутствуют данные о числителе, то используется средняя арифметическая, если же о знаменателе, то средняя гармоническая.
Пример. Имеются данные по предприятию о выпуске трех видов продукции. Требуется определить среднюю рентабельность.
Исходное соотношение для расчета средней рентабельности:
.
Исходные данные: вариант А
| Вид продукции | Затраты на производство продукции, тыс. руб., f | Рентабельность, %- х |
| А | 200, 0 | 11, 0 |
| Б | 500, 0 | 12, 0 |
| В | 600, 0 | 12, 0 |
Вариант Б
| Вид продукции | Прибыль, тыс. руб., W | Рентабельность, % -х |
| А | 22, 0 | 11, 0 |
| Б | 60, 0 | 12, 0 |
| В | 78, 0 | 13, 0 |
При использовании взвешенных средних необходимо иметь в виду, что понятие вес и частота не всегда совпадают.
Например, дана группировка цехов по степени выполнения плана. Необходимо вычислить процент выполнения плана по предприятию в целом. Т.е. средний процент выполнения плана.
| Процент выполнения плана, %- х | Количество цехов | 
| План по выпуску продукции, тыс. руб. |
| 100-102 | 101, 0 | 400, 0 | |
| 102-104 | 103, 0 | 600, 0 | |
| 104-106 | 105, 0 | 150, 0 | |
| Итого | 1150, 0 |
В данном примере число цехов являются частотами, но не весами. Весами служит величина планового задания.
Средняя квадратическая
Средняя квадратическая применяется для расчета среднего квадратического отклонения 
, являющегося показателем вариации признаков, а также в технике; применяется как простая и как взвешенная.
; 
.
Пример. Подлежат замене две трубы, обеспечивающие технологические нужды предприятия с диаметрами 20 и 30 см. Требуется найти диаметр двух новых труб одинакового диаметра, взамен ранее действующих и обладающих их пропускной способностью.
Средняя геометрическая
Применяется только при расчете средних коэффициентов роста(снижения). Рассчитывается по формулам:
,
- коэффициенты роста (снижения);
П- знак произведения коэффициентов;
n- число сомножителей (коэффициентов).
Средняя геометрическая рассчитывается также по формуле:
где 
-конечный уровень ряда;
- первый уровень ряда;
n-число уровней динамического ряда.
Пример. В течении рабочей недели (пять рабочих дней) банк выдал ряд кредитов. Определить средний недельный темп роста выданных кредитов.
| Дни недели | Сумма выданных кредитов, тыс. руб. | Коэффициент роста |
| Понедельник | 5858, 0 | - |
| Вторник | 5970, 0 | 
|
| Среда | 6010, 0 | 
|
| Четверг | 6100, 0 | 
|
| Пятница | 6150, 0 | 
|
или 
Все рассмотренные виды средних величин являются частными случаями степенной средней, формулы которой получены на основе определяющей функции:
- степенная средняя невзвешенная;
-степенная средняя взвешенная,
где m- показатель степени, определяющий вид средней;
х- варианты признака; f- веса.
При m=1 вычисляется средняя арифметическая;
m= -1 – средняя гармоническая;
m= 0 - средняя геометрическая;
m=2 - средняя квадратическая.
Т.е. средние обладают свойством можорантности (свойством неравенства), -чем больше степень, тем больше средняя:
< 
< 
< 