Формула Максвелла-Мора

Рассмотрим два состояния:

1) грузовое состояние (первое состояние) (рис. 1, а), в котором действующая нагрузка вызывает внутренние усилия M_P, Q_P, N_P;

2) единичное состояние (второе состояние) (рис. 1, б), в котором действующая единичная сила P=1 вызывает внутренние усилия от единичных сил.

Рисунок 1. Теорема Максвелла-Мора

Составим выражение работы А ₂₁, то есть работы силы Р ₂ = 1 на перемещении Δ ₂₁, возникающей от действия сил первого состояния:

А₂₁=Р₂× Δ ₂₁=1× Δ ₂₁= Δ ₂₁

Внутренние силы грузового состояния на перемещениях единичного состояния совершают возможную работу:

Единичная сила P=1 единичного состояния на перемещении грузового состояния Δ _Pсовершает возможную работу:

А₂₁=1× Δ _P= Δ _P.

Исходя из основных теорем строительной механики эти работы должны быть равными, т.е. А_ij= –V_ij. Значит, должны быть равны и правые части указанных выше уравнений:

Эта формула называется формулой Мора и используется для определения перемещений точек стержней от внешней нагрузки.

Рассмотрим отдельные случаи применения формулы Мора:

1. В балках возможны три случая:

− если l/h> 8 (l − длина балки, h − высота балки), в формуле оставляется только моменты:

− если 5≤ l/h≤ 8 (l − длина балки, h − высота балки), в формуле оставляется только моменты:

− если l/h< 5 формула Мора дает большие погрешности. В этом случае перемещения следует определять методами теории упругости.

2. В рамах элементы в основном работают только на изгиб, поэтому в формуле Мора учитываются только моменты:

3. В арках необходимо учитывать соотношение между основными размерами арки l и f:

− если l/f≤ 5 (l − расстояние между опорами арки, f − высота арки), учитываются только моменты:

− если l/f> 5, учитываются моменты и продольные силы:

4. В фермах возникают только продольные силы: