Раціональних дробів на прості дроби

Означення 1. Дріб вигляду , де – многочлени, називається раціональним; якщо , то раціональний дріб є правильним.

Означення 2. Раціональні дроби де називаються елементарними.

Має місце твердження: правильний раціональний дріб можна зобразити у вигляді суми елементарних дробів. Зокрема, справедливо, що

Для знаходження коефіцієнтів праву частину зводять до загального знаменника і порівнюють чисельники дробів у лівій і правій частинах одержаної рівності, потім комбінують методи:

1) підставляють ліворуч і праворуч одні і ті ж числа (зазвичай корені знаменника);

2) прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях ліворуч і праворуч рівності і розв’язують отриману систему.

Формули скороченого множення і ділення:

Формула бінома Ньютона:

де – біноміальні коефіцієнти, які знаходяться в –му рядку «трикутника Паскаля».

Алгоритм побудови «трикутника Паскаля» (табл. 1.1): кожний елемент наступного рядка, окрім його крайніх елементів, дорівнює сумі двох сусідніх з ним елементів попереднього рядка; крайні елементи кожного рядка є одиниці.

Таблиця 1.1

Приклад 1. 7. Знайти

Розв’язання. Коефіцієнти беремо з 5-го рядка, знаки “ ”, “–” чергуємо: .

Формула виділення повного квадрата:

Приклад 1.8. Спростити

Розв’язання. ОДЗ:

якщо

Приклад 1.9. Спростити вираз

Розв’язання.

ОДЗ: якщо

Приклад 1.10. Спростити

Розв’язання. Позначимо цей вираз через

ОДЗ перетворень:

Приклад 1.11. Спростити вираз

Розв’язання.

,

якщо (це ОДЗ перетворень).

Приклад 1.12. Спростити вираз

Розв’язання. ОДЗ:

Звільнимося від ірраціональності в знаменнику спочатку першого, а потім другого дробу. Маємо:

1)

2)

3) .

4)

5)

Отже, , якщо .

Приклад 1.13. Знаючи табличні інтеграли

знайти інтеграл

Розв’язання. Розкладемо підінтегральний дріб на елементарні дроби:

Маємо: Покладемо тоді і

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях:

Тоді

Завдання для самостійної роботи

1.14. Спростити:

a) b) c)

d) e) f) g) h)

i)

j)

1.15. Розкласти дріб на суму елементарних дробів.

1.16. Розкласти дріб на суму елементарних дробів.