Означення функції та її властивості

1) функція визначена при , тобто існує;

2) існує скінченна границя ; 3) .

Якщо не виконується хоч одна з цих умов, то функція називається розривною в точці . Якщо функція неперервна в кожній точці області визначення, то вона називається неперервною функцією. Функція , графік якої наведено на

рис. 4.4, розривна при , оскільки не визначена при . В усіх інших точках вона неперервна. Функція (рис. 4.5) розривна при .

Асимптота. Якщо графік функції необмежено наближається до деякої прямої при віддаленні від початку координат, то ця пряма називається асимптотою.

Парна і непарна функції. Якщо для будь-якого з області визначення функції виконується , то функція називається парною; якщо – , то функція називається непарною. Графік парної функції симетричний відносно осі (рис. 4.6), а графік непарної функції симетричний відносно початку координат

(рис. 4.7).

Періодична функція. Функція – періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число , що для будь-якого з області визначення функції виконується рівність

. Таке найменше число називається періодом функції.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Приклад 4.2. Довести, що має період .

Розв’язання. Відомо, що де , тому додавання

Рис. 4.6 Рис. 4.7

до аргументу синуса не змінює його значення. Чи є інше число з такою властивістю? Припустимо, що – таке число, тобто рівність виконується для будь-якого значення . Але тоді воно має місце і при тобто Однак за формулою зведення Тоді з двох останніх рівностей випливає, що . Але це правильно лише при Оскільки найменшим відмінним від нуля числом з є , то це число і є періодом . Аналогічно можна довести, що є періодом і для .

Приклад 4.3. Яке число є періодом функції ?

Розв’язання. Оскільки , то додавання до аргументу не змінює значення функції. Найменше відмінне від нуля число з є Таким чином, воно і є періодом .

Обернена функція. Припустимо, що на проміжку визначена функція . Нехай область зміни цієї функції – проміжок . Якщо для всіх

рівняння має лише один розв’язок, який належить проміжку , то на проміжку можна розглянути таку функцію : для кожного позначимо через корінь рівняння , тобто для всіх з проміжку . Визначена так функція називається оберненою на проміжку .

Якщо функція визначена на довільній множині і кожного свого значення набуває тільки раз, то існує обернена функція , визначена на всій області зміни функції – ; областю зміни є множина .

Знаходження оберненої функції зводиться до розв’язування рівняння відносно .

Якщо одному значенню з області зміни відповідає кілька значень , то обернена функція для на всій області визначення не існує, але має обернену функцію на кожному інтервалі монотонності.

Якщо функція обернена до функції і , то . Отже, якщо точка належить графіку функції , то точка належить графіку функції . Але ці дві точки симетричні відносно прямої . Тому, щоб побудувати графік функції , оберненої до функції , треба графік функції симетрично відобразити відносно бісектриси першого і третього координатних кутів. На рис. 4.8 зображено графіки обернених функцій і .

Рис. 4.8

Приклад 4.4. Записати функцію, обернену до функції і побудувати її графік.

Розв’язання. Функція монотонна, тому обернена на всій області визначення, якою є множина дійсних чисел. Щоб скласти формулу оберненої функції, розв’яжемо рівняння відносно змінної : . Оскільки зазвичай ми позначаємо незалежну змінну – , а функцію – , то в отриманому виразі поміняємо місцями змінні. Функція і є оберненою до даної. Графіки цих функцій наведено на рис. 4.9.

Складена функція. Розглянемо функцію Фактично цей запис означає такий ланцюжок функціональних перетворень:

.

У загальному вигляді останні перетворення можна записати так:

Рис. 4.9

або

Маємо два послідовних правила відповідності (тобто функції), використовуючи які отримаємо як функцію від . У цьому випадку говоримо, що – складена функція від .

Приклад 4.5. Наступні функції є складеними:

Розв’язання. Ланцюжок перетворень для першої з них такий:

Для другої: для третьої: .

Графік функції. Графіком функції називається множина точок координатної площини, абсцисами яких є значення аргументу з області визначення функції, а ординатами – значення функції з області значень.