Неопределенного интеграла

П.1 Определение первообразной функции и

О. Пусть функции и определены на интервале . Функция называется первообразной для функции на интервале , если имеет производную на и для выполняется равенство: .

Задача нахождения функции по заданной называется задачей неопределенного интегрирования или задачей нахождения первообразной.

Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (, , , R). Дадим определение первообразной на отрезке. Если функции и определены на , причем дифференцируема на , непрерывна на и для , то функцию называют первообразной для функции на отрезке .

Утверждение Если первообразная для функции на интервале , то функция при R, тоже является первообразной для функции на интервале .

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема Если и две первообразные для функции на интервале , то для выполняется равенство:

, где .

Доказательство. Обозначим . По определению первообразной, выполняются условия: , , . Отсюда следует, что дифференцируема на и для . Согласно следствию из теоремы Лагранжа, для , то есть ■

О. Неопределенным интегралом от функции на некотором промежутке называется совокупность всех первообразных для функции на этом промежутке.

Обозначается символом и пишут , где одна из первообразных функции на промежутке , .

Например, .

Знак называется знаком интеграла, подынтегральной функцией, подынтегральным выражением. Его можно также записать в виде или . Т.е. .