П.1 Интегрирование рациональных функций

Из курса алгебры известно, что любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители:

, (1)

где R, R.

А также известно, что всякая функция вида , где и многочлены с действительными коэффициентами степени и соответственно и , т.е. правильная рациональная дробь, представляется в виде суммы простых дробей вида:

N, N, . (2)

А именно, если представим в виде (1), то

.

Коэффициенты во всех дробях разложения находятся методом неопределенных коэффициентов.

Если дробь является неправильной (т.е. ), то разделив числитель на знаменатель эту дробь можно записать в виде: , где многочлен, правильная дробь. Например, .

Обратимся теперь к интегрированию рациональных дробей вида (2).

Если , то ,

а если , то .

Обозначим .

Выделим в знаменателе полный квадрат:

, где .

Обозначим , получим

. Теперь

.

Если , то .

Если , то вычисляется по рекуррентной формуле:

.