Математическое описание косоугольных проекций

Матрица проецирования может быть записана исходя из значение и . Рассмотрим единичный куб, спроецированный на плоскость ХУ. Точка Р принадлежит объекту, а точка - изображению т. Р на рисунке.

Рис. 11.8

Проекцией точки Р (0, 0, 1) является т. , принадлежащая плоскости ХУ. По определению это означает, что направление проецирования совпадает с отрезком . Это направление есть:

.

Направление проецирования составляет угол с плоскостью ХУ.

Рассмотрим произвольную т.(x, y, z) и определим ее косоугольную проекцию () на плоскость ХУ.

Рис. 11.9

Уравнение для х и у – координат проектора как функций Z имеют вид

- (прямая 1, рис.1)

- (прямая 2, рис.1)

На рис. 11.9 показаны 2 изображения т. и проектор, параллельный проектору на рис.11.9. Уравнения для х и у – координат проектора:

Находим , :

Матрица, которая выполняет эти действия, а следовательно описывает косоугольную проекцию:

Применение матрицы приводит к сдвигу и последующему проецированию объекта. Плоскости с постоянной координатой z=z₁ переносятся в направлении х на , в направлении y — на и затем проецируется на плоскость z=0. Сдвиг сохраняет параллельность прямых, а также углы и расстояния в плоскостях, параллельных оси z.

Для изометрической косоугольной проекции (см. рис.11.9)

Для диметрической косоугольной проекции .

Для ортографической косоугольной проекции , .

11.4. Математическое описание перспективной проекции

Для простоты примем, что плоскость проецирования перпендикулярна оси z и совпадает с плоскостью z=d.

Рис. 11.10

Для каждой т. Р объекта т. изображения определяется как т. пересечения прямой линии ОР и экрана.

Рассмотрим подобные треугольники:

Расстояние d является в данном случае масшт-ым k. Фактором, приводящим к тому, что удаленные объекты выглядят мельче, является деление на z. Допустимы все значения z, кроме z=0.

Замечание 1: Т.к. т. О ( оси z) находится в центре объекта, а ось z совпадает с , то т. Q тоже будет находиться приблизительно в центре изображения объекта. Если расположить начало координат экрана (плоскости проецирования) в нижнем левом углу, а размеры экрана: а – по горизонтали, b – по вертикали, то

.

Замечание 2: Необходимо определить расстояние между т. наблюдения Е и экраном – d.

Рис. 11.11

Это выражение равно применимо для горизонтальных и вертикальных размеров. Его надо использовать лишь для приблизительной оценки d, т.к. 3-хмерный объект может иметь сложную форму и не всегда ясно, какие размеры надо включать в это уравнение.

Замечание 3: Особенность нашего глаза такова, что мы можем видеть только точки, расположенные внутри определенного конуса, ось которого совпадает с направлением взгляда ОЕ. Очень важный параметр этого конуса – угол .

Глаз, как и камера допускает только такие значения угла , которые не . При выборе рекомендуется пользоваться формулой:

.

Выбор слишком малого может привести к трудностям. Если же будет слишком большим, то будет мало, эффект перспективы уменьшится.

Оптимальный вариант .

Замечание 4: Рассмотрим случай, когда объект слишком длинный в направлении оси X (балка 200*2*2). Где лучше выбрать т. О? До сих пор мы выбирали ее в середине объекта. Всегда ли она будет и в центре объекта?

Рис. 11.12

Точка , которая находится в центре изображения, не лежит на середине объекта.

Очевидно, что точка О надо выбирать не на середине балки, а ближе к глазу.