![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Рівняння Топена і рекурентні співвідношення.
Введемо величину r(z), яку визначимо наступним чином:
Нескладно побачити, що визначена нами таким чином функція r(z) при z=0 рівна комплексному коефіцієнту відбивання (ККО) в асиметричній геометрії Брега. Нагадаємо, що в геометрії Брега завжди
Із першого рівняння системи (1.38) після деяких перетворень отримаємо:
де При отриманні рівняння (1.43) для прозорого кристалу повинно бути використане наступне правило вибору знаків:
Підставляючи в друге рівняння системи (1.38) замість
Рівняння (1.44) називається рівнянням Топена. При записі (1.44) введені наступні позначення:
де Рівняння (1.27) відноситься до рівнянь типу Ріккаті. Для його рішення слід задати одну граничну умову на вихідній поверхні z=t. Ця умова описує відбивні властивості середовища, яке знаходиться поза досліджуваним кристалом. Якщо поза кристалом вакуум то r(t)=0, якщо ж поза ним знаходиться другий кристал то з ККВ r2(t), то гранична умова при z=t має вигляд r(t)=r2(t). Оскільки гранична умова задається на нижній поверхні кристалу, то і рішення рівняння Топена (1.44) ведеться знизу. Для півбезмежного кристалу без спотворень (U(z)=0) диференціальне рівняння стає алгебраїчним, тобто:
Оскільки в цьому випадку відношення
Тут вибір знаків перед коренем виконується на основі наступних умов:
В кристалі з поглинанням слід зберігати лише знак плюс (+) в (1.47) і використати значення кореня з додатною уявною частиною. При брегівській дифракції на досконалому кристалі кінцевої товщини рівняння (1.44) слід розв'язувати, замінюючи
Загальне рішення рівняння (1.48а) для довільної функції
На поверхні z=0 цей результат можна переписати так
де аккомодація
Особливий інтерес для окремих випадків представляє задача дифракції на одномірноспотвореному кристалі товщини t, розміщеному на напівбезмежній досконалій підкладці із близьким значенням параметра гратки. Для зручності введемо ККВ
Тоді згідно (1.44), отримаємо
де
де ККВ спотвореного шару Зауважимо, що остання складова виразу (1.48в) дає помітний вклад в розсіяння тільки поблизу області повного відбивання, де Взагалі ж аналітичне рішення рівняння Топена (1.44) є не менш складне ніж рішення вихідної системи (1.38) або (1.40), і в цьому розумінні перехід до нього не дає ніяких переваг. Проте, воно є зручним при чисельному розв’язку задач дифракції в кристалах із спотвореннями оскільки розв’язок одного рівняння першого порядку (1.44) із однією граничною умовою є суттєво простішим розв’язку вихідної системи (1.38) із граничними умовами заданими на різних поверхнях кристалу. Зауважимо, що рівняння типу (1.44) добре дослідженні в радіофізиці при дослідженні розповсюдження сигналів в шаруватих середовищах.
|