Вероятностные таблицы смертности (чаще

называемые просто таблицами смертности)

Это самый совершенный инструмент для анализа состояния и тенденций уровня смертности. Они представляют собой систему взаимосвязан­ных показателей, характеризующих изменение вероятности смерти по мере увеличения возраста людей, или, напротив, изменение вероятности дожития до некоторого возраста, а также среднюю продолжительность жизни некоторого поколения родившихся. Иначе говоря, таблицы смерт­ности описывают последовательность и скорость вымирания поколения.

Показатели (колонки) таблиц смертности:

l_x — числа доживающих до возраста «х» лет;

d_x — числа умирающих в возрасте «х» лет (т.е. в возрастном интервале от «х» до «х + 1»);

q_x — вероятность умереть в возрасте «х» (т.е. в возрастном интервале от «х» до «х + 1»);

р_х — вероятность для доживших до возраста «х» дожить и до следующе­го года возраста «х + 1»;

L_x — числа живущих в возрасте «x» (в возрастном интервале от «х» до «х + 1»;

Т_х — числа живущих в возрасте «х» лет и старше (число человеко-лет предстоящей жизни для данного поколения);

е₀ — средняя ожидаемая продолжительность жизни для новорожденных;

е_х — средняя ожидаемая продолжительность жизни для достигших возраста «х».

В таблицах смертности принимают первоначальную численность поколения (число родившихся, основание или корень таблицы смертности) не­изменной во времени и равной единице и прослеживают, как с переходом от возраста к возрасту, от 0 до предельного возраста (100 лет или 100 с небольшим) первоначальная совокупность поколения родившихся убывает в результате смерти от 1 до 0.

Отсюда следует, что в таблицах смертности все числа, кроме числа родившихся, равного 1, меньше 1, т. е. дроби. Чтобы избежать большого количества дробных чисел, число родившихся (основание таблицы) в практических расчетах принимают равным 100000 или 10000, в зависимости от желаемой значности (точности) расчетов. Но не менее 10000.

Различают таблицы полные и краткие. В полных таблицах возрастные интервалы равны одному году, в кратких — пяти годам. Целесообразно рассмотреть взаимосвязи показателей таблиц смертности на примере полных таблиц. В них с переходом от возраста «х» к возрасту «х + 1» число до­живающих l_x будет последовательно уменьшаться на величину числа умирающих в возрасте «х», т.е. d_x. Математически эта связь выглядит следующим образом:

L_x+1 = l_x – d_x (6.5.1)

Если проследить эту последовательность (порядок) вымирания поколения, начиная с основания таблицы смертности, то она будет выглядеть следу­ющим образом: l₀ = 1 или 10000 или чаще 100000 – d₀ = l₁ – d₁ = l₂ – d₂ = l₃ и т.д. В общем виде эту последовательность можно записать так: l_x+1 = l_x – d_x (для полных таблиц) и l_х+п = l_x – d_x+n, где п — длина возрастного интервала.

Каждый родившийся рано или поздно умирает, и в конечном счете чис­ло умерших (из каждого поколения, численность которых мы определили заранее) составит l₀, т. е. число родившихся, или

где w –1 — предельный возраст, до которого доживает последний человек из поколения родившихся.

Формула (6.5.1) может быть использована в различных перестановках, к примеру:

l_x = l_x+1 + d_x; d_x = l_x – l_x+1, и т.д.

Вероятность смерти в возрасте «х» (в возрастном интервале от «х» до «х + 1») ¾ q_x — определяется в соответствии с правилами теории вероятностей как отношение числа умирающих в возрасте «х» – d_x к числу дожива­ющих до этого возраста, т.е. l_z. В виде формулы эта связь выглядит так:

(6.5.2)

Из формулы хорошо видно, что вероятность смерти q_x можно интерпре­тировать и как долю умирающих в возрасте «х» из числа доживающих до начала возрастного интервала «х».

Напротив, вероятность дожития до возраста «х + 1» — р_х для тех, кто до­жил до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»), будет определяться как отношение числа доживающих до возраста «х + 1» к числу до­живших до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»). Запишем эту связь в виде формулы:

(6.5.3)

Отсюда можно так же, как и в предыдущей формуле, видеть, что вероятность дожития есть не что иное, как доля переживающих возраст «х» из числа доживающих до его начала.

Формулы (6.5.2) и (6.5.3) так же, как и (6.5.1), используются в виде различных преобразований, например: l_x+1 = l_xр_х; d_x = l_xq_xb ит. д.

Поскольку мы рассматриваем смертность, то в пределах одного возрастного интервала возможна только единственная альтернатива: либо пере­жить этот интервал и благополучно отметить следующий день рождения, либо, увы, не дожить до него. Иначе говоря, сумма вероятностей дожития до следующего возраста либо умереть, не дожив до него, равна единице, что можно изобразить в виде формулы:

q_x + р_х = 1. (6.5.4)

Эта простейшая формула оказывается, однако, очень полезной, так как, зная одну из двух вероятностей, всегда легко найти вторую (вычитанием из единицы).

Начав прослеживать закономерное уменьшение чисел доживающих с основания таблицы смертности, замечаем вскоре, что: l₁ = l₀p₀.

Если основание таблицы l₀ = 1, то, естественно, l₀ в формуле можно опу­стить, и она примет вид: l₁ = р₀.

Далее, следуя той же логике: l₂ = l₁p₁. Подставим вместо l₁ его значение из предыдущей формулы (l₁ = р₀). Получим: l₂ = р₀ p₁. Затем: l₃ = l₂р₂ = p₀p₁p₂ и т.д. Отсюда, кстати, видно, что число доживающих — нечто иное, как произведение вероятностей дожития, или, иначе говоря, оно само — тоже вероятность, вероятность для новорожденного дожить до возраста «х». В обобщенном виде эту связь можно записать и так:

l_x = p₀p₁p₃ x ………. x p_x-1. (6.5.5)

Поскольку в практических расчетах основание таблицы смертности принимается равным не 1, а 10000 и чаще всего 100000, то l₀ опускать не приходится и формула (6.5.5) выражается в следующем виде:

l_x = l₀p₀p₁p₂p₃ x ………. x p_x-1.

Здесь, пожалуй, самое время сказать, что в таблицах смертности нет ни одного доживающего или умирающего. Вообще — ни одного человека. Одна смерть в чистом виде. Одни вероятности и доли. В этом их большое преимущество перед другими измерителями уровня смертности, посколь­ку при отсутствии человека нет и зависимости показателей таблиц смерт­ности от возрастной структуры населения. Наименования «числа дожива­ющих», «числа умирающих» — опять же условные наименования, не более того.

Рис. 6.2. Вероятность умереть q_x для мужского и женского населения СССР, 1986—1987 гг.

Последовательность изменений чисел доживающих l_x графически представляет собой линию дожития, характеризующую порядок вымирания поколения. Чем ниже уровень смертности, чем большая доля ро­дившихся (поколения) доживает до старших возрастов, тем более выпуклой формы будет кривая дожития (см. рис.6.4).

Числа живущих. В таблицах смертности числа доживающих показывают долю остающихся в живых к началу каждого следующего года возра­ста, то есть к возрасту «x» лет остается в живых часть поколения l_x, к возра­сту «х + 1» — часть l_x+1, и т.д.

Однако на самом деле при переходе от одного возраста к следующему численность поколения убывает непрерывно, поэтому число живущих в возрасте «х» есть некоторая средняя величина между значениями чисел доживающих l_x и l_x+1. Если разбить каждый год возраста на предельно малые промежутки времени и с помощью дифференциального исчисления определить средние величины живущих в каждом таком мельчайшем интерва­ле, то изменение чисел живущих определяется путем интегрирования та­ких средних. В реальности интегрирование заменяется суммированием.

Рис. 6.3. Число умирающих d_x мужчин и женщин СССР,

Гг.

На практике обычно мы не располагаем значениями чисел доживающих l_x, для более дробных возрастных интервалов, чем год. Поэтому для средних возрастов, в которых число доживающих изменяется почти пря­молинейно, число живущих рассчитывается как обычная средняя арифме­тическая величина из двух чисел доживающих, на начало и конец возраст­ного интервала, т. е.:

(6.5.6)

На тех же участках кривой дожития, где ее кривизна значительна, число живущих определяют по формуле, учитывающей эту кривизну:

(6.5.7)

где d_x — число умирающих в таблицах смертности; т_х — возрастные коэффициенты смертности того же населения, для которого строились таблицы смертности.

Обычно по формуле (6.5.7) рассчитывают число живущих для всех уча­стков кривой дожития, кроме самых первых детских возрастов, для которых используются специальные формулы (мы познакомимся с ними позд­нее, при построении краткой таблицы смертности).

Средняя ожидаемая продолжительность жизни. Число живущих можно трактовать также и как число человеко-лет, прожитых всем поколением родившихся в интервале возраста «x». Тогда, следовательно,

Рис. 6.4. Линии дожития l_x мужского и женского населения СССР, 1926—1927, 1958—1959, 1986—1987 гг.

поколе­ние родившихся l₀ проживет на первом году жизни (т.е. в возрасте 0 лет) L₀ лет, на 2-м году — L_i лет, на 3-м — l₂ лет и т.д., а всего:

(6.5.8)

где Т₀ — число человеко-лет, которое предстоит прожить данному поколению родившихся.

Если эту сумму человеко-лет разделить на первоначальную численность поколения, т.е. на число родившихся l₀, то получим очень важный социальный показатель, который называется показателем средней ожидае­мой продолжительности жизни.

Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни [123] — это число лет, которое проживет один человек в среднем из данного поколения родившихся при условии, что на всем протяжении жизни это­го поколения смертность в каждой возрастной группе будет оставать­ся неизменной на уровне расчетного периода.

Продолжительность предстоящей жизни рассчитывается для новорожденных (или иначе говорят — ожидаемая продолжительность жизни при рождении) идля достигших некоторого возраста «х».

В виде формул расчет обеих средних можно представить следующим образом.

Для новорожденных:

(6.5.9)

Поскольку при расчете средней продолжительности предстоящей жизни для новорожденных основание таблицы смертности l₀ = 1, его можно опустить, и окончательно этот показатель выражается в виде суммы чисел живущих в жизненном интервале от рождения поколения до его полного исчезновения.

Для людей, достигших определенного возраста «x», расчет отличается лишь тем, что число доживающих до возраста «х», в знаменателе дроби уже меньше 1 и его опускать нельзя.

(6.5.10)