Расчет кратких таблиц смертности

Для анализа состояния и тенденций уровня смертности чаще всего бывает достаточным использование кратких таблиц смертности, т.е. по пяти­летним возрастным интервалам. Для их построения необходимо распола­гать пятилетними возрастными коэффициентами смертности или данными для расчета таких коэффициентов. Обычно достаточно рассчитать лишь одну колонку таблиц, l_x, q_x или p_x, а все остальные колонки, кроме L_x, рас­считываются на основе взаимосвязей показателей таблиц смертности, представленных выше.

Для перехода от возрастных коэффициентов смертности т_х к вероятностям смерти q_x используется обычно одна из двух формул:

(6.5.11)

(6.5.12)

где q_x — вероятность смерти в возрасте «х»; т_х — возрастной коэффициент смертности; n — длина возрастного интервала.

Все остальные формулы показаны выше.

Построим для примера краткие таблицы смертности мужского населения России за 1995 г. и рассмотрим алгоритм расчета (см. таблицу 6.5).

1. Из двух методов расчета по формулам (6.5.10) и (6.5.1 1) выберем вто­рой метод — по показательной функции, потому, что она лучше, чем пер­вая, учитывает кривизну изменения чисел доживающих l_x. При этом вмес­то колонки вероятностей смерти q_x будем рассчитывать колонку ее дополнения до единицы, т.е. вероятность дожития до следующего возраста, p_x. Таким путем мы избежим большого числа вычитаний из единицы.

2. Но сначала нужно возрастные коэффициенты смертности разделить на 1000 (т.е. перевести их из промилле в доли единицы) и перемножить на длину соответствующих возрастных интервалов. Для первого возрастного интервала 0 лет множитель будет равен 1, для второго — 1 — 4 года — 4, для остальных интервалов — 5.

3. Затем, возводя основание натурального логарифма «е» в отрицательную степень, равную произведению возрастного коэффициента смертно­сти на длину возрастного интервала, находим значения колонки вероятно­стей дожития p_x (колонка 3 в таблице 6.5).

4. Следующая колонка — чисел доживающих «l_x». Первое значение числа доживающих для возраста 0 лет — основание таблицы смертности 100000 (константа, которую всегда нужно помнить). Умножив 100000 на число доживающих p₀, получаем число доживающих l₁, умножив l₁ на p₁, получаем l₂, и так — все значения колонки чисел доживающих до возраста «85 лет и старше».

5. Затем рассчитываем значения колонки d_x как разность между соседними числами доживающих, т.е. 100000 – l₀ = d₀; l₁ – l₂ = d₁, и т.д.

6. Далее рассчитываем числа живущих. Для всех возрастных интервалов, кроме первых двух ранних детских, числа живущих рассчитываются по формуле L_x = dx / т_х. Для первых двух возрастных интервалов — 0 и1—4 — числа живущих определяются иначе ввиду резкой кривизны изменения линии дожития на этом участке. Так число живущих в возрасте 0 лет определяется уравнением L₀ ⁼ l₀ - 2 / 3d_x. Число живущих в следующем детском возрастном интервале 1—4 года определяется из следующего уравнения ₄L₁ = 1, 704l₁ + 2, 533l₅ - 0, 237l₁₀. Число живущих в так называемом открытом возрастном интервале — 85 лет и старше — определяется по формуле L₈₅₊ = l₈₅ / m₈₅₊. Поскольку все дожившие до 85 лет раньше или по­зже умрут после этого возраста, d₈₅₊ = l₈₅.

Таблица 6.5