Задача 10

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны.[22]

Решение:

Пусть ABCD — правильная треугольная пирамида (рис. 10). Докажем, например, что AD ⊥ BC.

Рис. 11. К задаче

Пусть точка M — середина ребра BC. Рассмотрим плоскость ADM. Ясно, что высота DH нашей пирамиды лежит в этой плоскости (поскольку H лежит на медиане AM).

Докажем, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADM. Для этого нам нужно предъявить две пересекающие прямые, лежащие в плоскости ADM и перпендикулярные BC. Какие же это прямые?

Во-первых, это прямая DH. В самом деле, будучи высотой пирамиды, DH перпендикулярна плоскости ABC. По определению это означает, что DH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC - в частности, прямой BC.

Во-вторых, это прямая AM. Действительно, будучи медианой равностороннего треугольника ABC, отрезок AM является его высотой и потому перпендикулярен BC.

Итак, мы убедились, что BC ⊥ DH и BC ⊥ AM. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости мы заключаем, что BC ⊥ ADM. Стало быть, BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADM — в частности, прямой AD. Это мы и хотели доказать.

Обратите внимание, какая схема рассуждений реализована в данной задаче. Допустим, мы хотим доказать, что прямая l перпендикулярна прямой m. Действуем следующим образом:

1. Берём подходящую плоскость π, в которой лежит прямая l.

2. В плоскости π находим две пересекающиеся прямые a и b, такие, что m ⊥ a и m ⊥ b.

3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости делаем вывод, что m ⊥ π.

4. По определению перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости π. В частности, m ⊥ l, что и требовалось.

Эта схема часто работает во многих задачах.