Основные свойства определителей.

1. Если переменить местами строки и столбцы опреде­лителя, не меняя их порядка (иначе —транспонировав определитель), то определитель не меняется.

Следствие. Если известно какое-либо свойство определителя, относящееся к его строкам, то оно будет справедливо и по отношению к его столбцам. Поэтому в дальнейшем все свойства определителя будут даны по отношению к его строкам.

2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки опреде­лителя можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы некоторой строки определителя пропорциональны соответствующим элементам другой стро­ки, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы i-й строки определителя пред­ставлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в данном определителе, а j-я строка в первом определителе состоит из первых слагае­мых, во втором — из вторых слагаемых; это свойство распространяется на случай, когда каждый элемент i-и строки определителя есть сумма k слагаемых (k≥ 2).

7. Если к строке определителя прибавить линейную комбинацию нескольких других его строк (сумму произ­ведений на произвольные числа), то определитель не ме­няется.

8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю. Обратно, если определитель n-го порядка равен нулю, то одна из его строк есть линейная комби­нация других строк.

9, Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраиче­ские дополнения:

.

10. Сумма произведений всех элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соот­ветствующих элементов другой строки равна нулю:

.