Абсолютная и относительная погрешности. Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку; если же а > А, то – по избытку.

Если а есть приближенное значение числа А, то пишут а» А.

.

Под ошибкой или погрешностью D а приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е.

.

Если А > а, то ошибка положительная: D а > 0; если же А < а, то ошибка отрицательна: D а < 0. Чтобы получить точное число А, нужно к приближенному числу а прибавить его ошибку Dа,

Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа

.

Определение 1. Абсолютной погрешностью D приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и приближенным а, т.е.

.

Вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности D вводится ее оценка сверху, так называемая предельная абсолютная погрешность.

Определение 2. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

. (2.2)

Отсюда следует, что точное число А заключено в границах

.

.

Определение 3. Относительной погрешностью dприближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности D этого числа к модулю соответствующего точного числа А(А ¹ 0), т.е.

. (2.4)

Отсюда D = ç А ç d.

Определение 4. Предельной относительной погрешностью данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. По определению имеем:

, (2.5)

т.е. , отсюда .

.

.

Отсюда, зная предельную относительную погрешность , получают границы для точного числа

.

Если, как обычно бывает, < < а и d _а < < 1 (знак < < обозначает «значительно меньше»), то приближенно можно принять;