Относительная погрешность корня

Пусть теперь , тогда и^т = х. Отсюда

, (2.20)

т .е. предельная относительная погрешность корня т-й степени в т раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа.

1. Функции одной переменной. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y=f(x), вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента D_х, оценивается величиной:

. (2.27)

Если значения функции f(x) положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка

. (2.28)

В частности, для основных элементарных функций получаем следующие правила.

а) Степенная функция y=x^a. Абсолютная погрешность степенной функции равна:

. (2.29)

Относительная погрешность степенной функции равна:

. (2.30)

Например, относительная погрешность квадрата x² вдвое больше относительной погрешности основания х, относительная погрешность вдвое меньше относительной погрешности подкоренного числа х, относительная погрешность обратной величины 1/х равна относительной погрешности самого числа х.

б) Показательная функция y=а^х (a> 0). Абсолютная погрешность показательной функции равна:

. (2.31)

Относительная погрешность показательной функции равна:

. (2.32)

Заметим, что здесь относительная погрешность функции пропорциональна абсолютной погрешности аргумента.

Для функции y=е^х отсюда получаем:

. (2.33)

в) Логарифмическая функция y=ln x. Абсолютная погрешность натурального логарифма числа равна относительной погрешности самого числа:

. (2.34)

Для десятичного логарифма y=lg x имеем:

, (2.35)

откуда следует, что при расчетах с числами, имеющими т верных знаков, надо пользоваться (т+1)-значными таблицами логарифмов.

г) Тригонометрические функции. Абсолютные погрешности синуса и косинуса не превосходят абсолютных погрешностей аргумента:

, . (2.36)

Абсолютные погрешности тангенса и котангенса всегда больше абсолютных погрешностей аргумента:

, . (2.37)

2. Функции нескольких переменных. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y=f(x₁, x_{2, …,} x_n), вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов x₁, x_{2, …,} x_n оценивается величиной

. (2.38)

Если значения функции положительны, то для относительной погрешности имееи место оценка:

. (2.39)