Интерполяционный многочлен Ньютона. Достоинства и недостатки.

Можно построить интерполяционный многочлен степени n в виде

Многочлен должен проходить через узлы интерполирования, т.е.

= y_i = f(x_i) (i = 1, 2, ………..n).

Причём

х = х₀ ; = y₀ = а₀ . Отсюда а₀ = y_0.

х = х₁; = y₀ + а₁h, где

Аналогично можно получить значения и остальных коэффициентов многочлена

; …………………. .

, , …………. - конечные разности до n-ого порядка.

В общем случае конечные разности можно представить

(i = 1, 2, ………..n-1).

= (i = 1, 2, ………..n-1) и разность порядка к

…………………………………….

(i = 1, 2, ………..n-1).

Если в интерполяционный многочлен подставить значения коэффициентов, то будет получен первый интерполяционный многочлен Ньютона

Достоинство: она удобна тем, что число используемых узлов может быть легко увеличено или уменьшено без повторения всего вычисления.

Недостаток: К недостатку формулы Ньютона можно отнести то, что при вычислениях в таблице с постоянным шагом при увеличении количества узлов не всегда удается добиться повышения точности вычислений.

8. Что такое конечные разности?

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании.

Рассмотрим интерполяционную задачу для функции :

где - шаг интерполяции

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями в узлах интерполяции, то есть

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

Конечной разностью порядка (для ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка , то есть