Система уравнений ЭМП в дифференциальной форме.

Литература:

[3] стр. 15

Трудность использования уравнения в интегральной форме для решения сложных в геометрическом отношении задач связано с тем, что интегральная форма содержит под знаком интеграла значения векторов поля в различных точках исследуемого пространства, т.к. получаем усредненное значение, необходимо усреднение линий, выражающих связь между источниками поля и векторами поля в каждой конкретной точке пространства. Поэтому уравнения записывают в дифференциальной форме.

Рассмотрим первое уравнение Максвелла (закон полного тока).

Пусть есть элементарная площадка поля. Δ S – периметр границы l. – плотность тока, n – вектор нормали к поверхности Δ S. Вектор направлен по касательной в каждой точке.

Ток, проходящий через Δ S:

,

– нормальная составляющая плотности тока.

Закон полного тока в интегральной форме:

Левую и правую части уравнения разделим на Δ S:

(12)

Перейдем к пределам, уменьшая Δ S до нуля, при этом считаем, что составляющая вектора напряженности магнитного поля непрерывна в рассматриваемой области, тогда

(13)

Сравниваем с уравнением (12) , т.к. выбор нормали к Δ S не влияет на результат перехода к пределу, последнее уравнение запишем:

(14)

– первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме

rot – векторная величина, ее математический смысл – пространственная производная (по x, y, z) векторной величины. Иногда rot называют вихрем.

По аналогии преобразуем закон электромагнитной индукции. Возьмём ту же площадку и «пропустим» через неё магнитный поток.

Предположим, что Ф по Δ S распределен равномерно, тогда:

Переходим к пределам, считая, что линии напряженности электрического поля в исследуемом пространстве непрерывны.

Разделим последнее выражение на и в левой части переходим к пределу:

Так как выбор нормали не влияет на переход к пределу, второе уравнение Максвелла будет иметь вид:

(15)