Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме

Здесь используется частная производная, т.к. в общем случае Ф и В зависят и от времени и от координаты.

Рассмотри постулат Максвелла (теорема Гаусса) в интегральном виде:

q - общий заряд внутренней области, учитывающий как свободные, так и связанные заряды.

Обозначим объем пространства ограниченного поверхностью s – V, тогда заряд элементарного элемента:

ρ – плотность заряда.

Предположим, что заряд внутри объема распределён равномерно

– объем элементарного элемента пространства.

Тогда постулат Максвелла:

Разделим это выражение на :

Постулат Максвелла в дифференциальной форме:

(16)

Уравнение характеризует то, что линии электрического поля (D) начинаются и кончаются на зарядах.

В отличие от ротора, дивергенция – алгебраическая скалярная величина.

Дивергенция – пространственная производная векторной величины.

По аналогии можно записать в дифференциальной форме уравнение непрерывности магнитного потока:

(17)

Данное выражение показывает, что линии магнитного поля (B) всегда замкнуты, т.к. магнитных зарядов в природе нет.

Материальные уравнения поля такие же, как и в интегральной форме записи (*)

Из уравнений видно, что (14) и (16), (15) и (17) взаимосвязаны друг с другом. Одно описывает возникновение электрического поля, другое – магнитного.

Поэтому при решении задач система уравнений должна включать по одному уравнению из этих двух пар. Для решения конкретной задачи уравнения поля записываются в определенной системе координат. Если исследуемое пространство характеризуется цилиндрической симметрией, то уравнения поля записываются в цилиндрической системе координат, если – сферической симметрией, то в сферической системе координат. Если симметрии нет, то уравнения записываются в декартовой системе координат.

Составляющие первого уравнения Максвелла:

(18)

Видим, что в отличие от задач расчета цепей здесь нужно рассчитать три компоненты плотности тока.

Запишем в декартовых координатах закон непрерывности Ф.

(19)

(18) и (19) полностью описывают ЭМП в декартовой системе координат.

Мы рассматривали идеализированный случай, на практике исследуемое пространство содержит разные области с различными характеристиками. Поэтому, чтобы решить диф.уравнение нужно задать граничные условия. Они определяют поведение поля при переходе границы между областями.

Так как характеристики поля могут меняться с течением времени мы должны знать их начальные значения. Это относиться только к нестационарным полям, в которых вектора поля не зависят от времени.