Схема дослідження графіка функції

Рекомендується наступна схема проведення дослідження функцій і побудови їх графіків.

1. Знайти область визначення функції у = f(x).

2. Визначити можливого типа симетрії функції: парність або не­парність функції.

За наявності симетрії досить побудувати графік функції на правій координатній напівплощині і потім відображувати його на ліву половину: дзеркально відносно осі Оу в разі парності f(x) або з центральною симетрією при непарності f(x).

3. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат Ох і Оу

тобто вирішити відповідно рівняння у = f(0) и f(x) = 0.

4. Знайти асимптоти.

5. Знайти точки можливого екстремуму.

6. Знайти критичні точки.

7. Досліджувати знаки першою і другою похідних, визначити ділянки монотонності функції, напрям опуклості графіка, точ­ки екстремуму і перегину.

8. Визначити максимум і мінімум функції у області її визначення. Якщо областю визначення функції є відрізок [ а, b ], необхідно обчислити значення функції на його кінцях і зіставити їх з локальними екстремумами.

9. Побудувати графік функції з врахуванням проведеного дослідження.

Приклад. Досліджувати функцію і побудувати її графік.

1. Областю визначення функції є всі значення х, окрім х = 0.

2. Функція є функцією загального вигляду в сенсі парності і непарності.

3. Точки перетину з координатними осями:

з віссю Ох: у = 0; x = ; з віссю Оу: x = 0; у – не існує.

4. Точка х = 0 є точкою розриву, отже, пряма х = 0 є вертикальною асимптотою.

Похилі асимптоти шукаємо у вигляді: у = kx + b.

Похила асимптота у = х.

5. Знаходимо точки екстремуму функції.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функція зростає,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функція спадає,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функція зростає.

Таким чином, точка (2, 3) є точкою мінімуму.

Для визначення характеру опуклості/вигнутості функції знаходимо другу похідну.

> 0 при будь-якому х ¹ 0, отже, функція вигнута на всій області визначення.

6. Побудуємо графік функції.

Рис. 4.1. Графік функції .