Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Варіація функціоналу.
|
|
Нехай функціонал J[у(х)] заданий на множині Е функцій у(х) приростом функціоналу J[у(х)], що відповідає приросту δ у(х) аргументу, називається величина
∆ J= ∆ J [у(х)] = J[у(х) + δ у(х)] -J[у(х)].
Означення. Якщо приріст функціоналу
J[y(х) + δ у(х)] - J[у(х)]
Можна представити у вигляді:
∆ J = L[у(х), δ у] + β (у(х)> δ у)||δ у||,
де L[у(х), δ у] - лінійний по відношенню δ у функціонал і β (у(х), δ у) → 0 при
|δ у | → 0, то лінійна по відношенню до δ у частина приросту функціоналу (Lу(х), δ у]) називається варіацією функціоналу: δ J = L[у(х), δ у(х)], а функціонал Lу(х)] називається диференційований в точці у(х).
Приклад 1. Знайти приріст функціоналу
J[у(х)]= 
у{х) у'(х)dх,
визначеного на просторі С(1) [а, Ь], якщо у0(х) = х, а у1(х) = х2.
Розв’язання
Маємо
J[у(х)] = J[х2] - J[х] = 
х2 2хdх - х • 1dх = (2х3 - х)dх = 
=0.
Приклад 2. Знайти приріст ∆ J і варіацію δ J функціоналу
J [ y (x) ]= 
Розв’язання. Знайдемо приріст функціоналу
∆ J = 
(у + δ у)2 dх - у2 dх = 2уδ уdх + δ 2уdх.
Отже, ∆ J= 2 уδ уdх + δ 2уdх.
Лінійний функціонал 2уδ уdх по означенню і буде варіацією
функціоналу δ J = 2 уδ уdх, бо 
δ 2уdх = 0.
Приклад 3. Показати, що функціонал
J[y(x)] = у2{х)dх, визначений на просторі С[а, b], диференційований в кожній
точці у(х).
Розв’язання. Маємо ∆ J= (у(х) + δ у(х))2 dх - у2 {х)dх =
= 2у{х)δ у(х)dх + (δ у(х))2 dх.
Перший інтеграл справа при кожній фіксованій функції у(х) є лінійним
відносно δ у(х) функціоналом. Оцінимо другий інтеграл:
(δ у(х))2dх = | δ у(х) |2 dх ≤ 
| δ у{х) | dх = 
| δ у{х) | dх = (b-а)
|| δ у(х) ||2 = ((b-а)||δ у(х)||)||δ у(х)||.
При ||δ у|| → 0 величина (b- а) ||δ у||→ 0.
Отже, ∆ J = L(у, δ у) + α (|| δ у ||), де L(у, δ у) - лінійна частина приросту,
α (||δ у ||)→ 0 при || δ y||→ 0. Отже,
δ J = 2 у(х)δ у(х)dx.
Зауважимо, що варіація функціонала визначається за формулою:
δ J= 
J(y+α δ y) 
Справді: 
f (х + α ∆ х)|α =0 = f'(х + α ∆ х)∆ х\α =0 = f'(х)∆ х = df(х) (диференціал
функції відповідає варіації функціонала).
Має місце також формула:
J= 
(F'у - 
F'у,) уdх або J (х)]= 
(F'у у+F'у , у')dх (*).
Задачі.
Знайти варіації функціоналів трьома способами:
1. J[у(х)] = 
F{х, у)dх В. 
J= F' 
.
2. J[у(х)] = у4(х)dx, В. J= =4 y3 ydx.
3. J[у(х)] = 
(у3 -Зх4 у)dх В. J = (3y2 -3х4) ydx.
4. J[у(х)] = 
y(y+x)dx В. J = (2 у - х) y dх.
5. J[у(х)] = 
(ху + у2-2у2-у')dх
В. J = ((х + 2у – 4yу') у - 2у3 у')dх.
6. J[у(х)] = 
В. J = 
7. J[у(х)] = 
х2 у' 2 dх В. J = 2х2у у'dх.
8. J[у(х)] = 
(2ху - у'2 )dх В. J = (2х у - 2у' у')dх.
9. J[у(х)] = (х2 у' 2-у2)dх. Знайти ∆ J і δ J.
10. J[у(х)] = 
у' 2 sinxdx. Знайти ∆ J і δ J.
11. J[у(х)] = 
(y'y + ху' 2)dх. Знайти ∆ J і δ J.
12. J[у(х)] = 
(у'еy + ху2)dх. Знайти ∆ J і δ J
Приклад 4. Знайти варіацію функціоналу:
J[у(х)] = (у'еy + ху2)dх.
Розв'язання: Функція F(х, у, у') = у'еу + ху2 - неперервна по всіх змінних
х, у і у', має частинні похідні всіх порядків по у і у', обмежені в будь якій обмеженій області зміни змінних у і у'. Тому даний функціонал
диференційований на С[1, -1] і його варіація дорівнює (згідно формули (*))
((у'еу + 2ху) 
у + еу 
у')dx.
Приклад 5. Обчислити варіацію функціонала
J[у(х)] = 
Розв'язання: Ми вже знайшли, що δ J = 2 
у(х) δ у(х)dх.
Знайдемо варіацію по формулі δ J= J(y(x)+α δ y) .
J[y(х)] + α δ y(х)] = (у{х) + α δ y (х))2dх. Тоді J(y+α δ y) = 2 (у + α δ y )δ уdx
Значить, δ J= J(y+α δ y) = 2 уδ уdx
Задачі. Знайти варіації функціоналів трьома способами.
13. J[у(х)] = (х + у)dх В. уdх.
14. J[у(х)] = (у2 - y' 2 )dх В. 2 (уδ у - у' у')dх.
15. J[у(х)] = 
(xy+ y' 2)dх В. (хδ у + 2у' у')dх.
16. J[у(х)] = 
у'sin ydx В. (у'соsу у + sin уδ у')dх.