Друга варіація функціоналу.

Означeння. Функціонал J[х, у] від двох змінних х, у які належать деякому лінійному простору називається білінійним, якщо при фіксованому х він лінійний по у, а при фіксованому у - лінійний по х.

Якщо в білінійному функціоналі покласти х = у, то одержимо функціонал J[у, у], який називається квадратичним. Нехай J[у(х)] - функціонал, визначений на якому-небудь лінійному нормованому просторі.

Означення. Квадратичний функціонал L₂[δ у] називається другою варіацією функціонала J[у(х)] і позначається δ ²J = L₂[δ у], де

∆ J= L₁[δ у] +¹/₂ L₂ [δ у] + β ||δ у||², тут L₁[δ у] - лінійний функціонал, L₂[δ у] -квадратичний функціонал, β → 0 при ||δ у|| → 0.

Приклад. Знайти другу варіацію функціонала

J[у(х)]= , визначеного на просторі С⁽¹⁾_{[ 0, 1]} функцій у(х).

Розв'язання. Маємо

∆ J = J[у + δ у] - J[у] = (х(у + δ у)² + (y'+ δ у')³- ху² - у' ³)dх =

= (2ху δ у + х( δ у)² +3y' ² δ у'+3у^'( δ у')² +( δ у')³)dх =

= (2ху δ у + 3у' ² δ у')dх + (х( δ у)² +3у' ( δ у' ²)dх + ( δ у')^г dх.

При фіксованому у(х) перший доданок правої частини є лінійний відносно δ у(х) функціонал; другий доданок правої частини є квадратичний функціонал, а третій - допускає оцінку

Це значить, що цей доданок представляється у вигляді , де β → 0при ||δ y||→ 0. Отже, цей функціонал має другу варіацію δ ²J:

Введемо функцію Ф(α) = J[у + α δ у]. Друга варіація функціонала визначається також через другу похідну функції Ф(α) в точці α = 0:

або

Задачі: Знайдіть двома способами другу варіацію функціоналів.

1. J[у(х)]=

2. J[у(х)]=

3. J[у(х)]=

4. J[у(х)]=

5. J[у(х)]=

6. Довести, що квадратичний функціонал диференційований і знайти йогo другу варіацію. (В. δ J²(у, у) = 2J[δ у, δ у]).