Умовний екстремум функціонала.

Задачі визначення екстремуму функціоналу, в яких на допустимі криві накладаються додаткові обмеження - умови зв'язку, називаються задачами на умовний екстремум.

Нехай на множині G= {у(х)| у = (у₁, y₂..., у_n), у_i (х) С⁽¹⁾(а, b), і = ,

у(а) = (у₁⁽⁰⁾,..., у_n⁽⁰⁾), у(b) = (у₁⁽¹⁾,..., у_n⁽¹⁾)}, визначено функціонал.

J[y(x)]= F(х, у₁,..., у_n, , у'_n, , …, у'_n,)dx, де функція F диференційовна по

кожній змінній потрібну кількість раз. Екстремум всього функціонала шукається при додаткових рівняннях зв'язку.

m< n.

Якщо у(х) G задовольняє рівняння зв'язку і реалізує екстремум

функціоналу, то існують такі функції (х), j = , такі, що вектор-функція

у(х) є екстремаллю функціонала

J[y(x)]= (F +

Ф(х, y, у') = F(х, у, у') + - функція Лагранжа.

Екстремум функціоналу при рівняннях зв'язку знаходяться з системи

(*) , яка доповнюється рівняннями зв'язку. З

системи знаходяться i

Приклад 1. На множині G = {(у_1, у₂)| y_i С⁽¹⁾ (0, /2), і=1, 2, у(0)=(1, -1),
у(π /2)=(1, 1)} знайти екстремум функціоналу

J[y(x)]= (y ₁^{2 +} y²₂ - y '₁² - y '₂²)dx при умові у₁ -у₂ - 2соsх = 0. о

Розв 'язання. Складемо функцію Лагранжа

Ф = y ₁^{2 +} y²₂ - y '₁² - y '₂² +λ (x)(y₁ –y₂ -2 соs х).

Система (*) має вигляд

Додаємо їх: 2(у₁" + у₂") + 2(у_] + у₂) = 0 у₁ + у₂ = с₁ соs х + с₂ sin х. З граничних умов маємо c₁ = 0, с₂ = 2. Значить, у₁ + у₂ = 2sinх. Крім того, маємо рівняння зв'язку у₁ - у₂ = 2соsх. Тому у₁ = соsх + sinх, у₂ = sin х – соs х. Таким чином,

y ₁^{2 +} y²₂ - y '₁² - y '₂² = (соsх + sinх)² + (sinх-соsх)² -(-sin х + соsх)² - (соs х + sinх)² =

=0

Приклад 2. Знайти екстремалі і екстремум функціоналу

J[y(x)]= ( y ₁² +2 y '₁² + y '₂²)dx, y(0)= (1, 0); y (1)= (e + ; )при умові

y'₁-у₂=0.

Розв'язання.

Складемо функцію Лагранжа

Ф= y ₁² +2 y '₁² + y '₂² + λ ( y'₁ - у₂). Тому екстремаль у(х) = (у₁(х), у₂(х)) задовольняє системі рівнянь

Виключаючи λ (х), маємо у₁ - 2у₁" + у₂" ' = 0, що з врахуванням рівняння

зв'язку має вигляд у₁ ^IV - 2у₁ " + у₁ = 0. Значить, у₁ = (c₁ x + с₂)е^х + (с₃х + с₄)е ^-х,

у₂ = (c₁ x + c₁ + с₂)е^х - (с₃х + с₄ - с₃)e ^-х. Використовуючи граничні умови,

одержуємо у₁ = хе^х + е ^-х, у₂ = (х + 1)е^х – е ^-х, J _ехstr =

Задачі. Знайти екстремалі функціоналу:

1. J[y(x)]= , у(0) = (1, 2); у(1) = (2, 1) при умові

2у₁ - у₂ - 3х = 0.

В. у₁ = х + 16 у₂ = -х +2; 1_ехtr = .

2. J[y(x)]= (y' ²₁+ y'₂²)dх, у(0) = (-1, 0); y(1) = (-1, 1) при умові

у₁ + у₂ =2х² + х+1

В. у₁ =х²-х-1, у₂ = х³; J_ехtr = 5/3.

3. J[y(x)]= ( y' ²₁+ y'₂²)dх, у(0) = (1, 0);, у(π /2) = (), при умовi

y₁'=у₂+sinх.

В. у₁ = sinх, у₂ = соsх- sinх; J_extr =

4. J[y(x)]= (2у₁ у₂+у' ₁²+у' ₂²)dх, у(0) = (-1, 1); у() = ( + 1)

при умові у'₁ + у₂' = 4х.

В. у₁ = х² - соsх - sinх, у₂ = х² + соsх + sinх; J_ехtr =