Поле екстремалей.

Означення 1. Сім'я кривих у = у(х, с) утворює власне поле в заданій області (D) площини ХОУ, якщо через кожну точку (х, у) цієї області проходить одна і тільки одна крива цієї сім'ї.

Означення 2. Кутовий коефіцієнт Р(х, у) дотичної до кривої сім'ї у = у(х, с), що проходить через точку (х, у), називається нахилом поля в точці (х, у).

Означення 3. Сім'я кривих у = у(х, с) утворює центральне поле в області (D) площини ХОУ, якщо ці криві покривають без самоперетинів всю область (D) і виходять з однієї точки (х_о, у_о), яка лежить поза областю (D). Точка (х₀, у_о) -називається центром пучка кривих.

Приклад 1. В середині круга х² + у² ≤ 1 сім'я кривих у = Се^х, С - довільна стала, утворює власне поле, бо ці криві ніде не перетинаються і через кожну точку круга проходить одна і тільки одна крива цієї сім'ї.

Нахил поля в довільній точці (х; у) дорівнює Р(х; у) = Се^x

Приклад 2. Сім'я кривих у = (х + с)² всередині круга х² + у ≤ 1 власного поля не утворює, бо різні криві сім'ї перетинаються всередині круга і не покривають всю область.

Приклад 3. Сім'я кривих у = Сх. Утворює центральне поле в області х > 0.

Задачі. Чи утворюють поле (власне або центральне) сім'ї кривих в указаних областях:

1.y=ctgx, 0 ≤ х ≤ π /4; - π /2 ≤ у ≤ π /2.

В. Центральне поле.

2. у = Ссоs х; а) | х | < π /4; б) π /2 < х ≤ π; в) | х | ≤ π.

В. а) власне поле; б) центральне поле; в) поля не утворюють.

3. у = (х-с)³, ≤ 1

В. Власне поле.

4. у = с(х² -2х); а) 0 ≤ х < 1; б) - 1 ≤ х ≤ 3; в) ≤ х ≤ .

В. а) центральне поле; б) поле не утворюють; в) власне поле.

5. у = ; ; б) ; в)

В. а) центральне поле; б) власне поле; в) поле не утворюють.

6. у = е^х+с , х² +у² ≤ 1.

В. Поле не утворюють, бо сім'я кривих не покриває всю область. Якщо поле (власне або центральне) утворене сім'єю екстремалей деякої варіаційної задачі, то воно називається полем екстремалей.

Приклад 4. Розглянемо функціонал J[y(х)] = у'² dх. Його екстремалями є
прямі у = c ₁ x+ c₂- Сім'я екстремалей у = с₂ утворює власне поле, а сім'я

екстремалей у = c ₁ x утворює центральне поле з центром в початку координат.

Задачі. Вказати власне і центральне поле екстремалей функціоналів:

7. J[y(х)] = (у' ^г +у²)dх, а> 0.

В. у = c ₁ chх - утворює власне поле екстремалей; у = с₂shх - утворює центральне поле.

8-.J[y(х)] = (у' ²-у²+х²+4)dх.

В. у = Ссоsх утворює власне поле екстремалей.

у = Сsinх утворює центральне поле екстремалей.

Нехай крива у = у(х) - екстремаль функціонала J[y(х)] = F(х, у, у')dх,

яка проходить через точки А(х₀, у₀) і В(х_1, у₁).

Екстремаль у = у(х) включена у власне поле екстремалей, якщо існує сім'я екстремалей у = у(х, с), яка утворює поле, що містить при деякому значенні

с = с₀ екстремаль у = у(х), причому ця екстремаль не лежить на границі області (D), в якій сім'я у = у(х, с) утворює поле.

Те ж саме для центрального поля.

Приклад 5. Розглянемо варіаційну задачу для функціонала

J[y(х)] = (y'³ + sin ²x )dx.

а)Нехай у(0) = 1; у(2) = 1. Сім'я екстремалей даного функціонала у = c ₁ x +с₂. Заданим граничним умовам задовольняє екстремаль у = 1. Ця екстремаль
включається у власне поле екстремалей у = с_2, де с₂ - довільна стала.

б) Нехай у(0) = 0; у(2) = 4. Екстремаль, що відповідає цим граничним
умовам є у = 2х, яка включається в центральне поле екстремалей,

у=c₁x (c₁ - довільна стала) з центром в точці (0; 0).

Приклад 6. Розглянемо варіаційну задачу для функціонала

J[y(х)] = y'(2х- )dx, y(-1) = 0; y(1) =

Його сім'я екстремалей є у = х² + c₁ х + c₂. Екстремаль, що відповідає граничним умовам є: у = х² + х/4 - . її можна включити у власне поле екстремалей

у = х + х/4 + с₂

Задачі. Показати, що екстремалі варіаційних задач можна включити в поле

екстремалей (власне або центральне).

9. J[y(х)] = (y'² - 2ху)d х, у(0) = у(1) = 0.

В. Екстремаль у = (1 – х²) включається в центральне поле екстремалей

у = c₁ x - з центром в точці (0; 0).

10. J[y(х)] = (2е^ху + у' ²)dх, у(0) = 1; y(1) = е.

В. Екстремаль у = е^х можна включити у власне поле екстремалей у = е^х +с.

11. J[y(х)] = (у^г - y'²)dx, а> 0, а ; у(0) = 0, у(а) = 0.

В. Якщо а < π, то екстремаль у = 0 можна включити в центральне поле екстремалей у = Сsinх з центром в точці (0; 0). Якщо а > π сім'я кривих у = Сsinх поля не утворює.

12. J[y(х)] = (у'²+х²)dх, у(0) = 1; у(2) = 3.

В. Екстремаль у = х + 1 включається у власне поле у = х + с.

Означення. С-дискримінантною кривою сім'ї Ф(х, у, с) = 0 плоских кривих називається геометричне місце точок, що визначається системою рівнянь:

В склад С - дискримінантної кривої входять обвідні сім'ї, ГМТ вузлових точок і ГМТ точок загострення.

Означення. Обвідною сім'ї Ф(х, у, с) = 0 називається крива, яка в кожній своїй точці дотикається деякої кривої даної сім'ї і кожної ділянки якої дотикається безліч кривих сім'ї.

Якщо є пучок кривих з центром в точці А(х₀; у₀), то центр пучка належить С - дискримінантній кривій.

Приклад 7. Знайти С - дискримінантну криву сім'ї у = (х - с)².

Розв 'язання. Маємо систему:

Ця лінія є обвідною сім'ї кривих. Дійсно, в будь-якій точці х = x_о лінія у = 0 має спільну дотичну з відповідною кривою сім'ї у = (х – х₀)². Крім того, яку б маленьку ланку лінії у = 0 не взяти, її дотикаються безліч кривих даної сім'ї. Ця

С - дискримінантна крива складається лише з обвідної.

Задачі. Знайти С - дискримінантні криві заданої сім'ї кривих:

13.у = сх + с². В.; у = -х²/4.

14. у = (с - х) - с². В. у(у /4 - х)=0

15.(х-с)²+y²=1.В.y²-1=0.

Якщо дуга АВ кривої у = у(х) має відмінну від А спільну точку А* з С -дискримінантною кривою пучка у = у(х, с) з центром в точці А, що містить дану криву, то точка А* називається спряженою точкою до точки А.

Приклад 8. Розглянемо сім'ю кривих у = Сsinх. С - дискримінантну криву

цієї сім і визначаємо з системи:

Вона представляє собою дискретну множину точок (kπ, 0), k = 0, 1, ±2,...(точки перетину синусоїди з віссю ОХ). Візьмемо, наприклад, с = 2, одержимо криву у = 2sinх, яка належить даному пучку синусоїд з центром в точці О(0, 0). Якщо другий кінець В дуги кривої у = 2sinх має абсцису

х (π; 2π), то дуга ОВ буде містити ще одну точку (крім точки О(0; 0)), яка належить С - дискримінантній кривій 0*(π; 0), яка буде спряженою до точки О(0; 0). Якщо 0 < х < π, то точок, спряжених з точкою О(0; 0), на дузі ОВ немає.

Задачі.

16. Дано сім'ю кривих у = с(х - 1)х. Знайти точку спряжену з точкою
О(0; 0).

В.О*(1; 0).

17. Дано сім'ю кривих у = сshх. Знайти точку спряжену з точкою О(0; 0).
В. Спряженої точки немає.

Достатні умови Лежандра включення екстремалі функціонала в поле екстремалей.

Достатньою умовою включення екстремалі функціонала

J[y(х)] = F(x, y, y ^') dx y(х₀) ⁼ y₀, y(х₁) ⁼ y₁ в поле екстремалей є підсилена

умова Лежандра: > 0 в усіх точках розглядуваної екстремалі (тобто при всіх х [х₀, x₁].

Приклад 9. Чи включається екстремаль функціонала

J[y(х)] = (y'⁴ + у'²)dx, у(0) = 1, у(2) = 5 в поле екстремалей.

Розв'язання. Екстремалі - прямі у = с₁х + с₂. Екстремаль, яка задовольняє граничні умови є: у = 2х + 1; у' = 2.

F" _y'y' =12у'² + 2 = 50 > 0 в усіх точках екстремалі у = 2х + 1.

Підсилена умова Лежандра виконується, то екстремаль у = 2х + 1 може бути включена в поле екстремалей. Справді екстремаль у =2х + 1 міститься в однопараметричній сім'ї екстремалей у = 2х + с, які утворюють власне поле.

Приклад 10. Чи включається екстремаль функціонала
J[y(х)] = (х²у' ² + 12у²)dх, у(-1) = -1; у(1) = 1 в поле екстремалей.
Розв'язання. Рівняння Ейлера для цього функціонала

x² у" + 2ху' — 12у = 0. (рівняння Ейлера, підстановка у = х²) Загальний

розв'язок є у = c₁ х³ + с₂х ^-4. Поставленим граничним умовам задовольняє екстремаль у = х³.Її не можна включити в поле. Єдиною однопараметричною сім'єю екстремалей, яка містить її, є сім'я у = α х³. Але вона не перекриває області, що містить точку з абсцисою х = 0 (через точки осі ОУ з ординатами відмінними від нуля, екстремалі цієї сім'ї не проходять).

F" _y'y' = 2х² і підсилена умова Лежандра не виконується при х = 0.

Задачі. Перевірити можливість включення екстремалі в поле для функціоналів:

18. J[y(х)] = (y' ²-yу' ³) dх; у(0) = 0, у(1) = 0. В. Так.

19. J[y(х)] = у' ³ dх; у(0) = 0, у(а) = b > 0. В. Так.

20. J[y(х)] = п(у) dх; у(х₀)=у₀ ,, у(х₁) = y₁, n(у) > 0. В. Так.

21. J[y(х)] = (6у'² -у'⁴)dх; у(0) = 0, у(а) = b; а > 0, b > 0.

В. Так, але умова Лежандра виконується лише при b/а < 1.

22.J[y(х)] = ; A (0, 0), B (a, 0)

Достатня умова Якобі можливості включення екстремалі в центральне поле

екстремалей.

Для того, щоб дугу АВ екстремалі можна було включити в центральне поле екстремалей з центром в точці А(х₀, уо), достатньо, щоб точка А*, спряжена з точкою А, не належала дузі АВ.

Приклад 11. Перевірити можливість включення екстремалі у = 0 в центральне поле екстремалей з центром в точці О(0; 0):

J[y(х)] = (y' ² -9у² + e - 1)dx, у(0) = 0; у(а) = 0.

Розв'язання. Рівняння Ейлера для даного функціонала має вигляд:

у" + 9у = 0.

Його загальний розв'язок у(х) = c₁ sin3х + с₂соs3хk.

Якщо а - ціле число, то екстремаллю, яка задовольняє заданим

граничним умовам є у = 0. Розглянемо однопараметричну сім'ю екстремалей

у₁ =c₁ sin3х. Її С - дискримінантна крива складається з точок (, 0), k - ціле

число; тому, якщо а < , то точки, спряженої до точки О(0; 0) на екстремалі

у= 0 немає, тому цю екстремаль можна включити в центральне поле екстремалей

з центром в точці О(0; 0). Якщо ж а , то на екстремалі у = 0 буде

принаймні одна точка, спряжена з точкою О(0; 0), і достатня умова Якобі не виконується. В цьому випадку екстремалі у = c₁ sin3х поля не утворюють.

Аналітична форма умови Якобі.

Нехай є функціонал J[y(х)] = F (х, у, у')dх з граничними умовами

y(x₀) = y₀, y(x₁) = y₁.

Якщо розв'язок u= u(х) рівняння Якобі

= 0, що задовольняє ще умову

u(х₀) = 0, перетворюється в 0 ще в якій-небудь точці інтервалу (х₀, х₁), то спряжена з А(х₀, у₀) точка А* лежить на дузі АВ екстремалі В(x_{1 ,} у₁).

Якщо існує розв'язок u(х) рівняння Якобі що задовольняє умову u(х) = 0, який не перетворюється в 0 ні в одній точці півінтервала х₀ < х < х₁ , то на дузі АВ немає точок, спряжених з А. В цьому випадку дугу АВ екстремалі можна включити в центральне поле екстремалей з центром в точці А(х₀, у₀).

Приклад 12. Чи виконується умова Якобі для екстремалі функціонала

J[y(х)] = d х, (а≠ (n + ), що проходить через точки

А(0; 0) і В(а; 0)?

Розв 'язання.

Рівняння Якобі u" + 4u = 0. Його загальний розв'язок u(х) = c₁ sin2х. + +с₂соs2х. З умови u(0) = 0 знаходимо, що с₂ = 0, так що u(х) = c₁ sin2x.. Якщо

а < /2, то функція u(х) не перетворюється в нуль при 0 < х < а, і умова Якобі виконується, якщо ж а > π /2, то розв'язок Якобі u(х) = c₁ sin2х. перетворюється в 0 в точці х = π /2 [0; а], на дузі екстремалі у = 0 (0 < х < а) знаходиться точка, спряжена з точкою А(0; 0). Таким чином, при а > π /2 не існує центрального поля екстремалей, яке включає дану екстремаль.

Задачі. Перевірити виконуваність умови Якобі для екстремалей, що проходять через точки:

23. J[y(х)] = (у' ² +х²)d х; у(0) = 0; у(а) = 3. В. Виконується.

24. J[y(х)] = (12ху + у'² + х²)dх; у(-1) = -2; у(1) = 0. В. Виконується.

25. J[y(х)] = (у'² + 9у² - Зх)dх; у(0) = 0; у(а) = 0.В. Виконується а.

26. J[y(х)] = (1 + у' ²)dх; у(0) = у(1) = 0. В. Виконується.

27. J[y(х)] = у' сіх; у(0) = 1; у (а) =b, а > 0. В. Виконується.

28. J[y(х)] = (у' ² -у²)dx; у(0) = 0; у(2π) = 1.. В. Умова Якобі не виконується.

29.J[y(х)] = , що проходить через т. A (0, 0), B (a, 0)?