Система запитань.

1. Звідки слідує існування найбільшого значення функції на замкненій обмеженій множині?

2. Наведіть означення строгого максимуму функції f(х).

3. Чим характеризується точка строгого максимуму функції f(х)?

4. Сформулюйте необхідну умову екстремуму функції f(х), х є R_n. Що зміниться, якщо включити функції не диференційовні в окремих точках?

5. Чи гарантує умова df(х⁽⁰⁾) = 0 наявність екстремуму в цій точці?

6. Сформулюйте достатні умови строгого екстремуму функції f(х₁, х₂,..., х_п).

7. Сформулюйте означення додатньо визначеної квадратичної форми (від'ємно визначеної).

8. Яка умова гарантує додатню визначеність квадратичної форми? А від'ємну визначеність? Сформулюйте.

9. Наведіть означення функціоналу. Приведіть приклади.

10. Який функціонал виражає довжину дуги кривої?

11. Наведіть означення приросту функціоналу і варіації функціоналу.

12. Як визначається варіація функціоналу?

13. Означте близькість кривої в смислі нульового порядку. В смислі к-го порядку.

14. Чи слідує з близькості кривих в смислі к-го порядку близькість цих кривих в смислі близькості нижчого порядку? А навпаки? Відповідь обґрунтуйте. Наведіть приклади.

15. Чи існують функції, які будуть близькими в смислі будь-якого порядку? Наведіть приклади.

16. Що таке відстань 0-порядку між кривими у = у(х) і у = у_о(х)?

17. Що називається відстанню n-го порядку між кривими?

18. Як геометрично розуміється близькість кривих в смислі 1-го порядку?

19. Сформулюйте означення неперервного функціоналу в смислі близькості n-го порядку. Наведіть приклади.

20. Чи слідує з неперервності функціонала в смислі близькості n-го порядку неперервність функціонала в смислі близькості більш низького порядку? Розгляньте функціонал J[y(х)] = = у'(х₀).

21. Сформулюйте означення максимуму (мінімуму) функціонала.

22. Сформулюйте означення сильного і слабкого максимуму. Чим вони відрізняються?

23. Сформулюйте необхідну умову екстремуму функціоналу.

24. Чи впливає характер екстремуму (сильний або слабкий) на виведення основної необхідної умови екстремуму?

25. Якщо функціонал розривний в смислі близькості нульового порядку, чи може він бути неперервним в смислі близькостіпершого порядку? Розгляньте функціонал J[y(х)] = у'² (х)dx в просторі С⁽¹⁾[0; π ] на функції

у₀(х) = 0.

26. Наведіть означення лінійного функціоналу. Наведіть приклади лінійних функціоналів.

27. Яким є функціонал J[у(х)], який задовольняє умови: а) неперервний;

б) у₁ (х) М у₂ (х) М.

J[у.(х)+.y₂ (х)]=J[у₁ (х)] + y₂ (х)]?

28. Показати, що функціонал J[y(х)] = π (р(х)у + q(х)у')dх

лінійний.

29. Який простір називається лінійним? Нормованим? Приклади.

30. Чи залежать властивості функціоналу в лінійному нормованому просторі тільки від закону відповідності? А ще від чого залежать?

Як саме? Розгляньте приклад функціоналу J[y(х)] = y' ² dх, де у_n =

у = 0 для х [ - π /2; π /2].

31. Сформулюйте означення другої варіації.

32. Сформулюйте означення квадратичного функціоналу. Наведіть

приклади.

33. Який вигляд другої варіації для функціонала

J[y(х)] = F(х, у, у')dх?

34.Сформулюйте умову Лежандра для функціонала

J[y(х)] = F(х, у, у')dх.

35.Сформулюйте теорему Лежандра.

36.Задайте функцію δ у(х) в теоремі Лежандра.

37.Сформулюйте необхідну умову Лежандра екстремуму функціоналу

J[y(х)] = F(х, у, у')dх?

38.Яка задача варіаційного числення називається найпростішою?

39.Сформулюйте теорему Ейлера для функціонала

J[y(х)] = F(х, у, у')dх, у(a) = у₁, у(b) = у₂.

40.Які задачі називаються варіаційними. Приклади.

41.Сформулюйте теорему, яка виражає основну необхідну умову

екстремуму функціоналу.

42.В основну необхідну умову екстремуму функціоналу входять

лінійно δ у(х) і δ у'(х). В результаті яких перетворень одержується

функція лінійна тільки по δ у(х)?

43.В основну необхідну умову екстремуму функціоналу входять

лінійно δ у(х) і δ у'(х). В результаті яких перетворень одержується

вираз лінійний тільки по δ у'(х)?

44.В чому формальна недостатність перетворення Лагранжа?

45.Що таке екстремалі?

46.Який загальний розв'язок рівняння Ейлера?

47.Наведіть випадки зниження порядку рівняння Ейлера?

48.Вкажіть умову існування кутової точки екстремалі для функціонала

J[y(х)] = F(х, у, у')dх?

49. В яких задачах появляються екстремалі з кутовими точками?

50.Чи появляються екстремалі з кутовими точками в задачах з гладкими функціями без додаткових умов? Розгляньте приклад

функціоналу J[y(х)] = у'² (1 - у')² dх, у(0) = 0, у(2) = 1.

51. Звідки і як одержується рівняння Ейлера? (Необхідна умова

екстремуму функціоналу (*) J[y(х)] = F(х, у, у')dх.

52. Сформулюйте умови, яким задовольняють розв'язки з кутовими точками в задачі про екстремум функціоналу (*). Що дозволяють ці умови?

53. Сформулюйте умову відбивання.

54. Якою є умова відбивання для функціоналу

J[y(х)] = А(х, у) dх?

55. Одержіть з умови задачі 54 рівність кутів нахилу і відбивання в задачі про відбивання світла.

56. Сформулюйте умову заломлення. Що дозволять ці умови?

57. Якою є умова заломлення для функціоналу

J[y(х)] = А(х, у) dх?

58. Чим є крива у = φ (х) в задачі заломлення?

59. В чому полягає перше узагальнення найпростішої варіаційної задачі?

60. Що є екстремалями функціонала (**)?

61. Сформулюйте теорему Ейлера-Пуассона.

62. В чому полягає друге узагальнення найпростішої варіаційної задачі?

63. Як знаходяться екстремалі функціонала (4*)?

64. В чому відмінність варіаційних задач з рухомими межами від задач з нерухомими межами? Яка їх особливість.

65. Сформулюйте умови трансверсальності в задачі про екстремум

функціоналу J[y(х)] = F(х, у, у')dх, де точка з абсцисою х₀

рухається по кривій у = φ (х), а х₁ - по кривій у = ψ (х).

66.Які функції умови трансверсальності?

67.Якому класу належать криві у = φ (х) і у = ψ (х)?

68.Сформулюйте алгоритм розв'язування варіаційної задачі з рухомими межами.

69. Чим є умова трансверсальності для функціонала

J[y(х)] = А(х, у) dх?

70. В чому полягає задача на умовний екстремум функції багатьох змінних? Як вона розв'язується?

71. Як розв'язується задача на умовний екстремум для функціоналів?

72. Як ставиться ізопериметрична задача?

73. Як розв'язується ізопериметрична задача?

74. Сформулюйте задачу Дідони.

75. Яка постановка задачі Дідони як варіаційної задачі для функціонала?

76. Чому задача про знаходження відстані між двома кривими зведеться

до знаходження мінімуму функціонала J[y(х)] = dх, приумові, що лівий кінець переміщується по одній кривій, а правий по другій?

77. Що таке принцип взаємності для варіаційних задач і які в них екстремалі?

78. Яка сім'я кривих утворює власне поле?

79. Що називається нахилом поля в точці (х, у)?

80. Яке поле називається центральним?

81. Чи утворює пучок кривих власне поле?

82. Чи утворює центральне поле сім'я у = сsinх при х [0, а]?

83. Що таке поле екстремалей?

84. Коли екстремаль включається в поле екстремалей?

85. Що називається С - дискримінантною кривою?

86. Якщо F(х, у, с) = 0 пучок кривих, то як розміщений центр пучка по відношенню до С - дискримінантної кривої?

87. Яка точка називається спряженою точкою?

88. Сформулюйте умову Якобі?

89. Яка аналітична форма умови Якобі?

90. Коли дугу АВ екстремалі можна включити в центральне поле екстремалей?

91. Сформулюйте достатню умову Лежандра включення екстремалі в поле екстремалей?

92. Що називається функцією Вейєрштраса?

93. Як виражається приріст функціоналу через функцію Вейєрштраса?

94. Сформулюйте достатні умови Вейєрштраса слабкого екстремуму.

95. Сформулюйте достатні умови Вейєрштраса сильного екстремуму.

96. Якщо в точках екстремалі для деяких значень у' функція Е має протилежні знаки, то чи досягається сильний екстремум? А якщо властивість має місце при як завгодно близьких до р значень у', то що буде? Що означають ці факти?

97. Як виражається функція Вейєрштраса Е(х, у, у', р) через ?

98. Звідки одержується представлення Е(х, у, у', р) через ?

99. Звідки слідує, що 0 зберігає знак в точках екстремалі С?

100. Сформулюйте достатні умови Якобі слабкого екстремуму функціоналу.

101. Сформулюйте достатні умови Якобі сильного екстремуму функціоналу.