Ізопериметричні задачі.

Задача визначення екстремуму функціонала

J[y(x)]= F(х, у₁, у₂,..., у_n, у'₁, у'₂,..., у'_п)dх при умовах

F_j (х, у₁, у₂,..., у_n, у'₁, у'₂,..., у'_п)dх = c_j, j = називається

ізопeриметричною задачею. Якщо у = (у₁(х), у₂(х),..., у_n(х)) G задовольнять
умовам зв'язку і дають екстремум функціоналу, то існують сталі λ ₁ , λ ₂,..., λ _т,
що вектор-функція у(х) є екстремаллю функціоналу

J * [у] =, d х =)Ф(х, у, у')dх.

Ф = - функція Лагранжа.

Приклад 1. Знайти екстремалі в ізопериметричній задачі.

J[y(x)]= у' ²dх, у(0) = 1, у(1) = 6 при умові у(х)dх = 3.

Розв'язання. Складемо допоміжну функцію Лагранжа: F = у'² + λ у і
запишемо рівняння Ейлера:

(2у') = 0; у" = ; у' = х + с₁; у(х) = х² +с₁ х + с₂.

З граничних умов визначаємо с₂ = 1; + с₁ = 5; з умови

( х² + с₁ х + 1)dx = 3 знаходимо + = 2 с₂ = 1; c₁ = 2; λ = 12.

Рівняння екстремалі: у(х) = 3х² + 2х + 1.

Задачі. Знайти екстремалі в ізопериметричних задачах:

1.J[y(x)]= (x + y'²)dx; y(0) = 0; у(1) = 0 при умові у(х)dх = 2.

В. у = -12(х²-1)-min;

2.J[y(x)]= (х² + у'²)dх; у(0) = 1; у(1) = 0 при умові у{х)сdх = 3.

В.у = -15х²+ 14х+1 -min;

3. J[y(x)]= у'²dх; у(0) = у(π) = 0 при умові у²(х)dx = 1 вважати (λ < 0).

2. В. у = ± sinх -min;

4.Знайти екстремалі ізопериметричної задачі J[y(x)]= = (у'² + х²)dх при

умові y ² (х)dx = 2; у(0) = 0; у(1) = 0. В. у = ± 2 sinх (), n Z.

5. Знайти екстремалі ізопериметричної задачі J[y(x)]= у'²dх при умові

уdх = а; де а - стала.

В. у = λ х² + c₁ x + с₂, де λ, с_1, с₂ визначаються з граничних умов і із ізопериметричної умови.

6. Написати диференціальне рівняння екстремалей ізопериметричної задачі про

екстремум функціоналу J[y(x)]= (р(х)у'² + q(х)у²)dх при умові

r(х)y ²dx = 1; у (0) = 0; у(х₁) = 0.

В. (р(х)у' + (λ r(х)-q(х))у = 0; у(0) = 0; у(х₁) = 0. Тривіальний

розв'язок у ≡ 0 не задовольняє ізопериметричну умову.

7. Знайти екстремаль в ізопериметричній задачі про екстремум функціоналу.

J[у(х), z(х)]= (у'² + z'² - 4хz'- 4z)dх при умові (у'² -ху'-z '²)dх = 2;

у(0) = 0, z(0) = 0, у(1)=1, z(1)=1.В.у=- х²+ х; z= х.

Приклад 2. Знайти допустимі екстремалі функціоналу у'²dх, у(0) = 0,

у(1)= 5 при умові хуdх = 1.

Розв'язання. Складемо функцію Лагранжа Ф = у'² + λ ху і запишемо

рівняння Ейлера для функціонала (F + )dх і λ х - 2у" = 0. Звідси

знаходимо: у = х³ + с₁ х + с₂. З граничних умов маємо у(0) = с₂ = 0,

у(1) = 5, а з обмеження знаходимо хуdх =

1.0тже миодержали систему рівнянь = 5, 1, з якої слідує,

що с₁ = 0, λ =60. Отже, допустимою екстремаллю є крива у = 5х³.

Задачі. Знайти допустимі екстремалі в ізопериметричних задачах:

8. y'²dх, у(0) = 0, у(1)= 1, уdх = 0, хуdх = 0. В. у = 3х- 12х² + 10х³.

9. ysinхdх, у(0) = 0, у(π) = 0, у'²dх = , В. у = ± sinх.

10. ydх, у(-1) = 0, у(1) = 0, . В. у = ±

Приклад 3. Знайти екстремаль в ізопериметричній задачі про екстремум

функціоналу J[у(х), z(х)]= (у'² + z'² - 4хz'- 4z)dх при умові

('у - ху' -z'²)dх = 2.

Розв'язання. Складаємо допоміжний функціонал

Ф = J[у(х), z(х)]= (у'² + z'² - 4хz'- 4z)dх, у(0) = 0, z(0) = 0, у(1)=1, z(1)= 1 при умові (у'² +z'² -4хz'-4z + λ (у'² - ху' - z'²))dх і виписуємо для нього систему рівнянь Ейлера:

розв'язуючи яку, одержимо у(х) = ;

Граничні умови дають с₁ = ; с₂ = 0; с₃ = 2(1 -λ); с₄ = 0, то у(х)=

Для знаходження λ скористаємося ізопериметричною умовою. Оскільки
то

, звідки будемо мати рівняння для визначення λ:

Підстановкою з умови-зв'язку маємо, що λ ₂ = не задовольняє

iзопериметричній умові, a задовольняє.

Шукана екстремаль

Приклад 4. Знайти екстремалі ізопериметричної задачі

J[у(х)] = при умовах .

Розв’язання. Розглянемо рівняння Ейлера для допоміжної функції H=P-λ G=

=(y')²+x ²- λ y².

Звідси , а допоміжні умови приводять до системи рівнянь

Значить, c₁=0, і .

Знайти допустимі екстремалі в ізопериметричних задачах:

11. у'²d х, у(0) = 0, у(1) = 2, у²dх = 4.

В.у =

12. у₁ 'у'₂ dx, у(0) = (0, 0) у(1) = (1, 2), у₁ dx = 0, y₂dx = 0.

В. у₁ =3х²-2х, у₂ = 6х²-4х.

13. (y ₁'²y'₂²)dx, у(0) = (0, 0) у(1) = (0, 0), у_Іу₂dх = -2.

В. у₁ = 2sin kπ х, у₂= - 2sin kπ х, k = 0, ±1, ±2,...

14. Знайти екстремалі в ізопериметричних задачах:

а) J[у(х)] = ; y(0)=0, y(1)=0 при умові

B. y=-12(x²-1) – min.

б) J[у(х)] = y(0)=1, y(1)=0 при умові

B. y= -15x²+14x +1 - min.

в) J[у(х)] = y(0)=y(π)=0 при умові (вважати x< 0).

B. y= - min.

15. Знайти екстремалі в ізопериметричної задачі:

J[у(х)] = при умовах

B. y = де визначаються з граничних і ізопериметричних умов.

16. Знайти диференціальне рівняння для екстремалей ізопериметричної задачі про екстремум функціонала

J[у(х)] = при умові

B.

Тривіальний розв’язок у(х)=0 не задовольняє ізопериметричну умову, а нетривіальний розв’язок існує лише тоді, коли - λ власне значення оператора.

L[y]=

17. Знайти тіло обертання найбільшого об’єму з даною бічною поверхнею.

В. Тіло обертання кругового сегмента навколо хорди.