Метод простой итерации.

Стационарный одношаговый итерационный метод вида

(3.8)

называется методом простой итерации. В трактовке общей схемы одношаговых методов (3.2) матрица метода простой итерации имеет вид . В данном методе фактически отсутствует переобусловливатель. Его роль выполняет единичная матрица и итерационный параметр . Согласно представлению (3.5), для метода простой итерации .

Теорема 3.2. Пусть – симметричная положительно определенная матрица , тогда итерационный метод (3.8) сходится при .

Доказательство: Спектральная норма симметричной матрицы определяется модулем ее наибольшего собственного значения: . Если – симметричная матрица, то матрица также будет симметричной и . Тогда . Из положительной определенности матрицы следует, что при выполняется оценка , из которой следует, что .

Определим условия, при которых скорость сходимости итерационного метода (3.8) максимальна.

Теорема 3.3. Пусть – симметричная положительно определенная матрица: , , где положительные постоянные , – соответственно минимальное и максимальное собственные значения матрицы . Тогда максимальная скорость сходимости итерационного процесса (3.8) достигается при , при этом

. (3.9)

Доказательство: Задача поиска оптимального значения итерационного параметра , обеспечивающего максимальную скорость сходимости итераций, состоит в определении условия минимума нормы матрицы итераций , как функции итерационного параметра . Найдем явный вид данной функции.

.

Несложно заметить, что и , следовательно, в интервале значений функция принимает минимальное значение. Поскольку функция определяется максимальным значением модулей двух линейных функций, то минимум такой функции может достигаться только в точке равенства модулей данных линейных функций. Уравнение имеет единственный корень на интервале : . При этом

.

Теорема доказана.

Заметим, что скорость сходимости метода простой итерации зависит от отношения даже в случае оптимального выбора итерационного параметра. Для симметричных положительно определенных матриц , . Следовательно , где – число обусловленности матрицы . В случае плохо обусловленных матриц значение велико, и тогда согласно оценке (3.9)

.

Таким образом, эффективность метода простой итерации может катастрофически ухудшаться при .