Оптимальный выбор параметра нестационарного итерационного метода

Вычисление оптимального значения итерационного параметра при решении систем линейных алгебраических уравнений требует знания спектра матрицы системы. Определение границ спектра матрицы – непростая задача. Рассмотрим один способ оптимизации итерационного параметра, для которого не требуется симметричность матрицы системы и знание границ её спектра.

Для решения системы ЛАУ с положительно определенной матрицей используем итерационный метод

. (3.10)

В отличие от метода простой итерации (3.8) в итерационном процессе (3.10) используется переменный итерационный параметр. Определим, каким должно быть значение итерационного параметра , чтобы норма погрешности для очередного итерационного приближения имела минимальное значение.

Для погрешности итерационного метода (3.10) имеем

. (3.11)

Умножим скалярно уравнение (3.11) само на себя, предварительно умножив его слева на матрицу :

.

Условие минимума нормы погрешности определим из равенства нулю ее производной:

.

Из последнего равенства имеем

.

Учитывая, что , получаем выражение для оптимального значения итерационного параметра

, . (3.12)

Таким образом, мы приходим к итерационному методу с оптимальным выбором итерационного параметра, обеспечивающего на каждой итерации минимальное значение нормы погрешности :

. (3.13)

Итерационный метод (3.13) называется метод минимальных невязок, поскольку и каждая итерация (3.13) соответствует нахождению следующего приближения, минимизирующего норму невязки .

Задача выбора оптимального набора итерационных параметров, обеспечивающих минимизацию погрешности решения после итераций, позволяет добиться лучших результатов в ускорении сходимости, нежели рассмотренная выше оптимизация итерационного параметра на каждом итерационном шаге в отдельности. В частности, если использовать так называемый Чебышёвский набор итерационных параметров , минимизирующих норму матрицы

,

то скорость сходимости итерационного метода (3.10) будет определяться показателем геометрической прогрессии

. (3.14)

Для вычисления чебышёвского набора итерационных параметров требуется знания точных границ спектра матрицы системы. Кроме того, для обеспечения вычислительной устойчивости такого итерационного метода требуется упорядочение параметров . В силу отмеченных сложностей на практике более широкое распространение получили методы сопряженных градиентов, обеспечивающие такую же скорость сходимости, но не требующие для своего использования границ спектра матрицы системы.