Метод Ньютона решения операторных уравнений

Если известно достаточно хорошее начальное приближение к решению системы

, (1)

то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона.

Идея метода Ньютона заключается в том, что в окрестности имеющегося приближения задача заменяется некоторой вспомогательной линейной задачей.

Последняя задача выбирается так, чтобы погрешность замены имела более высокий порядок малости, чем первый (в определяемом далее смысле), в окрестности имеющегося приближения. За следующее приближение принимается решение этой вспомогательной задачи.

Рассмотрим случай скалярного уравнения

. (2)

В качестве такой вспомогательной задачи естественно взять линейную задачу

. (3)

Ее решение принимается за следующее приближение к решению исходного уравнения, т. е. итерации ведутся по формуле

, . (4)

Рассмотрим более общий случай – решение нелинейного функционального уравнения.

Пусть – оператор, отображающий линейное нормированное пространство на линейное пространство , которое может совпадать с . Нормы в этих пространствах обозначим соответственно и . Линейный оператор , действующий из пространства в пространство , назовем производной оператора в точке , если

, (5)

при .

В дальнейшем будем обозначать такой оператор через . Пусть, например,

, .

Если функции непрерывно-дифференцируемы в окрестности данной точки , то

.

Совокупность этих соотношений можно переписать в виде (5), если за принять оператор умножения на матрицу Якоби

.

В простейшем случае оператор превращается в оператор умножения на производную .

Пусть решение уравнения , некоторое приближение к . В предположении существования производной , согласно (5), имеем

.

Если величина мала, то можно написать приближенное равенство

.

Поскольку должно быть , то

.

Возьмем в качестве следующего приближения решение уравнения

,

если такое решение существует. В предположении, что оператор обратим, это решение можно записать в виде

, . (6)

где заданное начальное приближение. Такой итерационный процесс называется методом Ньютона.

Пусть . Допустим, что при некоторых , , , , , , выполняются условия:

, ; (7)

, . (8)

Обозначим , .

Теорема (о сходимости метода Ньютона). Пусть выполняются условия (7), (8), и .

Тогда

1. последовательность может быть построена по (6), т. е. , ;

2. существует , ;

3. итерационный процесс Ньютона (6) сходится с оценкой погрешности

, (9)

Примечание. Если в рассмотренном выше примере в некоторой окрестности решения функции имеют ограниченные вторые производные, то согласно формуле Тейлора, имеем

,

и, таким образом, условие (8) выполнено.