Нормы пространства сеточных функций.

Итак, заменив область непрерывного изменения аргумента сеткой , мы тем самым вместо функций непрерывного аргумента из рассматриваем сеточные функции , аргументами которых являются узлы сетки . Таким образом, осуществляется аппроксимация пространства решений дифференциального уравнения пространством сеточных функций . В линейном пространстве введем норму , являющуюся сеточным аналогом нормы в . Приведем примеры простейших типов сеточных норм для сетки на отрезке .

Пример 1. Пусть и для , тогда сеточный аналог нормы можно определить следующим образом

.

Пример 2. Если , тогда сеточный аналог нормы можно определить следующим образом

.

Итак, если , то величина определяет степень их близости, а если , то близость этих векторов определяется величиной . Основной интерес представляет оценка близости векторов к , которые, однако, являются элементами разных пространств. Этот вопрос можно решить следующим образом. Пространство отображается на пространство . Каждой функции поставим в соответствие сеточную функцию , определенную в узлах сетки так, что , где линейный оператор из в (). Это соответствие можно осуществить различными способами, выбирая различные операторы . В дальнейшем будем предполагать, что непрерывная функция и в узлах сетки. Имея сеточную функцию , образуем разность , являющуюся вектором пространства . Близость к характеризуется числом , где норма в . При этом, естественно требовать, чтобы норма аппроксимировала норму в следующем смысле:

, . (3)

Это условие называется условием согласования норм в и .

Определение.1. Решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи если при шагах сетки, стремящихся к нулю

,

где некоторая норма в пространстве сеточных функций.

Будем говорить также, что разностная схема имеет -й порядок точности по шагу h (или h и ), если для погрешности приближенного решения при любых достаточно малых шагах сетки выполняется оценка , (или ), где М – постоянная, не зависящая от шагов сетки. Порядок точности разностных схем относительно шагов сетки по пространственной и временной переменной, вообще говоря, не обязательно совпадает. Для того чтобы установить сходимость и порядок точности разностной схемы необходимо выяснить вопрос об аппроксимации (согласованности) дискретной и дифференциальной моделей.

Формальная замена в уравнении производных на их разностные (дискретные) аналоги связана с фактической модификацией исходной дифференциальной задачи, поскольку разностные производные не эквивалентны своим непрерывным прообразам. Разность между дискретными и непрерывными производными некоторой пробной функции принято называть погрешностью аппроксимации или ошибкой дискретизации дифференциального оператора на данной функции. Погрешность аппроксимации дифференциальных операторов может быть выражена путем разложения дифференцируемой функции в степенной ряд в окрестности фиксированного узла сетки в предположении, что выполнены условия, позволяющие произвести такое разложение. Погрешность аппроксимации дискретной модели складывается из погрешностей аппроксимации каждого из ее элементов (погрешности аппроксимации производных, граничных условий, коэффициентов, функций и т.п.).

Определение.2. Разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу, ели погрешность аппроксимации (невязка) данной разностной схемы на решении дифференциальной задачи стремиться к нулю при шагах сетки, стремящихся к нулю.

Будем говорить также, что разностная схема имеет -й порядок аппроксимации по шагу h (или ), если при убывании шагов сетки погрешность аппроксимации стремиться к нулю как (или ).

Следует подчеркнуть отличие понятий погрешности приближенного решения и погрешности аппроксимации задачи. Погрешность решения определяется разностью между точным решением и некоторым его приближением. Погрешность аппроксимации дискретной задачи выражает дисбалансы (невязку), которые возникают при подстановке точного решения в уравнения дискретной задачи, т.е. погрешность аппроксимации дискретной модели рассматривается на решении исходной дифференциальной задачи и характеризует величину возмущений, связанных с переходом от дифференциальной модели к дискретной.

Из аппроксимации разностной схемы еще не следует сходимость. Необходимым условием сходимости разностной схемы является устойчивость, которая вместе с аппроксимацией является достаточным условием сходимости для линейных задач.

Определение 1.

Разностная схема (2) называется устойчивой если существуют такие положительные, отличные от нуля постоянные , , не зависящие от шагов сетки, что для произвольного , и произвольных сеточных функций начальных условий и правой части для решения разностной задачи выполняется оценка

, (27)

где , - некоторые нормы в пространстве сеточных функций.

Оценка (27) определяет устойчивость по начальным условиям и правой части. При исследовании устойчивости разностных схем полезным оказывается рассмотрение по отдельности устойчивость по начальным данным и по правой части. Для исследования по начальным данным достаточно рассмотреть устойчивость схемы при нулевой правой части (однородного уравнения). Для исследования устойчивости по правой части достаточно рассмотреть устойчивость схемы при нулевых начальных условиях.

Определение 2

Разностная схема (2) называется равномерно устойчивой по начальным данным если существуют такие положительные, отличные от нуля постоянные и , не зависящие от шагов сетки, что для произвольного , для решения однородного разностного уравнения выполняется оценка

, (28)

причем .

Теорема. (об устойчивости по правой части).

Пусть разностная схема (2) равномерно устойчива по начальным данным. Тогда данная разностная схема устойчива и по правой части, причем для ее решения выполняется оценка (27), при этом , .

Теорема (о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью). Пусть разностная схема

, ,

, ,

аппроксимирует на решении линейную дифференциальную задачу

, ,

, ,

с порядком относительно и разностная схема устойчива, тогда разностная схема сходится и порядок ее сходимости совпадает с порядком аппроксимации, т. е. выполняется неравенство

,

где постоянная, не зависящая от .

Доказательство. Для погрешности имеем следующую разностную схему . В силу того, что разностная схема устойчива, выполняется неравенство , кроме того, существует аппроксимация с порядком относительно , а, следовательно, . Таким образом

.

Теорема доказана.

Существует, по крайней мере, два весьма универсальных подхода в исследовании устойчивости разностных схем.

Первый из указанных подходов основан на методе разделения переменных. Он преимущественно используется для анализа устойчивости дискретных линейных задач с постоянными коэффициентами. Второй подход основан на представлении разностных моделей в виде операторных уравнений стандартного канонического вида, при этом необходимые и достаточные условия устойчивости дискретных моделей формулируются в виде определенных требований к свойствам операторов. Развитая к настоящему времени общая теория устойчивости операторно-разностных схем позволяет во многих случаях сводить исследование устойчивости конкретных разностных задач к проверке свойств и условий на операторы данной задачи, приведенной к каноническому виду.

Спектральный анализ устойчивости.

Произвольное частное решение нестационарной разностной задачи представляется в виде двух сомножителей, каждый их которых выражает зависимость решения от одной переменной (пространственной либо временной). Множитель, отвечающий зависимости решения от пространственной координаты, выражается в виде отдельной Фурье компоненты решения с произвольной действительной частотой , а эволюция по времени выражается в виде степенной функции. В итоге, произвольное частное решение дискретной задачи ищется в виде

. (22)

Подстановка такой сеточной функции в разностное уравнение позволяет определить, при каких значениях данная сеточная функция удовлетворяет разностному уравнению. Условие устойчивости разностной модели полностью аналогичны условию корней, которое используется для определения устойчивости дискретных задач Коши при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности если для произвольных действительных , то для рассмотренного решения будет выполнена оценка (20), т.е. данное решение будет устойчивым. Если же, напротив, для некоторого значения мы получим , то такое частное решение будет неограниченно возрастать при , т.е. является неустойчивым. Строгость данного подхода основывается на том факте, что любую сеточную функцию, удовлетворяющую периодическим или нулевым краевым условиям, можно однозначно выразить коэффициентами дискретного преобразования Фурье, а именно, представить в виде суперпозиции линейно независимых частных решений вида (22). Таким образом, поведение произвольного частного решения вида (22) с учетом полноты системы линейно независимых частных решений в виде отдельных компонент преобразования Фурье позволяет сделать вывод об устойчивости либо неустойчивости в целом рассматриваемой дискретной аппроксимации дифференциальной задачи. Такой метод исследования устойчивости разностных схем получил название метод гармоник или спектральный метод.

Спектральный метод, по сути, позволяет получить необходимые условие устойчивости дискретных моделей. Выяснение вопроса о достаточности полученных условий устойчивости анализируемой схемы требует доказательства полноты системы линейно независимых решений, используемых в качестве пробных сеточных функций при спектральном анализе устойчивости. Естественными краевыми условиями для спектрального метода являются периодические либо однородные граничные условия. В этом случае пространственные гармоники, используемые в качестве пробных функций (22), совпадают с собственными функциями дифференциальных и разностных операторов с постоянными коэффициентами. Как было показано выше для случая разностного аналога дифференциального оператора второго порядка, собственные функции, удовлетворяющие однородным краевым условиям, образуют ортогональный базис в соответствующем пространстве сеточных функций. В силу этого полученные в рамках спектрального подхода необходимые условия устойчивости являются одновременно и достаточными.

Если разностная задача имеет краевые условия, отличные от однородных либо периодических, то спектральный метод оставляет открытым вопрос об устойчивости данной разностной задачи относительно возмущений таких краевых условий. Этот недостаток спектрального метода вряд ли можно признать существенным, поскольку возмущения краевых условий дискретной модели, как правило, не имеют катастрофических последствий на поведении приближенного решения, если таковые отсутствуют в исходной дифференциальной задаче. Тем не менее, в особенности при использовании краевых условий Неймана (второго и третьего рода), анализ устойчивости требует учета специфики краевых условий как на дифференциальном, так и на дискретном уровне.

Пример 1. Исследовать устойчивость по начальным данным явной схемы численного решения уравнений теплопроводности:

,

Будем искать частное решение разностной задачи в виде . Подстановка данного решения в разностную схему при дает следующее равенство

,

откуда .

Несложно заметить, что при условии , что является необходимым условием устойчивости рассматриваемой явной схемы. К такому же результату приводит спектральный анализ устойчивости данной схемы с использованием в качестве пробных функций соответствующие собственные функции разностного оператора второй производной с нулевыми краевыми условиями. Относительно набора данных собственных функций нами была установлена их ортогональность и полнота. А именно, число взаимно ортогональных собственны функций равно количеству внутренних узлов сетки, т.е. размерности векторного пространства сеточных функций, определенных во внутренних узлах сетки. Таким образом, спектральный критерий устойчивости явной разностной схемы в случае задачи Дирихле с нулевыми краевыми условиями дает необходимые и достаточные условия устойчивости рассмотренной схемы.

Пример 2. Исследовать устойчивость по начальным данным чисто неявной схемы для уравнений теплопроводности:

,

Будем искать частное решение разностной задачи в виде . Подстановка данного решения в разностную схему при дает следующее равенство

,

откуда .

Очевидно, что при любых допустимых значениях и постоянная не превосходит по абсолютной величине единицы. Это позволяет сделать вывод о безусловной устойчивости чисто неявной схемы, что означает устойчивость при любых положительных .