Метод простой итерации. Внимание. Вопросы решения нелинейных уравнений изложены достаточно сложно.

Внимание. Вопросы решения нелинейных уравнений изложены достаточно сложно.

Возможно Лучше обоатится к книге Самарский, Гулин.Численные методы.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений

, (1)

или

(2)

Чаще всего по функции строят функцию такую, что искомый корень уравнения (1) является и корнем уравнения

, (3)

и затем строят последовательность с помощью соотношения

, (4)

исходя из некоторого начального приближения . В этом случае функция не зависит от номера , и методы такого типа называются стационарными.

Одним из самых распространенных итерационных методов решения является метод простой итерации.

В методе простой итерации предполагается, что уравнение (1) приведено к каноническому виду (3) таким образом, чтобы решение уравнения (1) было неподвижной точкой отображения , т. е. . Последовательность приближений в методе простых итераций строится по правилу (4).

Для приведения уравнения (1) к каноническому виду (3) умножим его на матрицу и добавим к уравнению . Получим уравнение

,

которое запишем в виде

,

где . Следует отметить, что матрица должна быть такой, чтобы указанное преобразование не вносило дополнительных решений в области, где рассматривается искомое решение , т. е. для и в некоторой окрестности .

Функция должна удовлетворять следующим требованиям:

– последовательность может быть построена.

– должен существовать , искомое решение.

– сходимость к решению должна быть как можно более быстрой.

Рассмотрим матрицу Якоби . Пусть в замкнутом мерном кубе функция удовлетворяет условию Липшица

, (5)

для любых

Теорема(о сходимости метода простой итерации). Пусть в области для функции выполняются следующие условия:

1. удовлетворяет условию Липшица (5) с константой
2. (условие согласования для , , ).

Тогда

1) последовательность может быть построена, т. е. для любого ;

2) существует ;

3) , где единственное решение уравнения (3);

4) .

Доказательство.

1. Пусть .

Предположим, что , ,..., . Докажем, что , т. е. . Действительно,

Для двух соседних приближений с учетом условия Липшица выполняется

Значит,

Таким образом .

2. Для доказательства существования предела воспользуемся критерием Коши. Если для , такой, что и выполняется , то последовательность сходится, т. е. существует .

Рассмотрим

(4)

и

, для .

Таким образом, для и последовательность является последовательностью Коши, а, следовательно, существует .

3. Докажем, что и решение (3) и корень единственный. Рассмотрим

Обозначим , тогда из последнего равенства получим . Докажем, что он единственный. Предположим, что существуют два корня и , такие что , . Рассмотрим

.

Получили противоречие, а, следовательно, .

4. Оценку п. 4 получим, рассмотрев предельное соотношение (4) при :

.