Строение кривой вблизи особых точек

Пусть наша кривая задана уравнением и пусть точка А – особая, т.е. в ней

Вторые производные в этой точке, вообще говоря, отличны от 0. Т.е. выполнено неравенство . В этом случае говорят, что т. А – двойная особая точка. Если же в точке А выполнено и дополнительно ещё , то говорят о тройной особой точке.

Пусть у нас точка А – особая. Как себя ведёт кривая в её окрестности, мы не знаем. Допустим, что из этой кривой можно выделить простой отрезок, содержащий точку А. Этот отрезок имеет уравнение . Т.к. часть (простой отрезок кривой) входит в целое (всю кривую), то очевидно для этой части справедливо, т.е. Всякое тождество бесконечно дифференцируемо. Поэтому можно записать цепочку равенств:

Рассмотрим эту цепочку равенств в особой точке . Предположим, что это – двойная особая точка. Тогда здесь выполнено, а из вторых производных, например, . Тогда для этой точки из первых двух равенств имеем:

Из первого равенства найти нельзя (это тождество, т.к. для точки А справедливо). Но это можно сделать из второго равенства.

Итак, если у нас двойная особая точка, угловой коэффициент её касательной удовлетворяет квадратному уравнению

.

Для коэффициентов этого уравнения возможны следующие случаи:

1) .Тогда дискриминант уравнения D< 0 и корни его комплексно сопряжённые (т.е. вещественного значения углового коэффициента нет). В этом случае особая точка А – изолированная. В этом случае простого отрезка кривой, проходящего через точку А, вообще нет. Пример. (рис. 5). Точка – изолированная особая точка.	Рис. 5
2) .Тогда дискриминант уравнения D> 0 и корни его вещественные и различные. Можно ожидать существование двух взаимно пересекающихся простых отрезков кривой. В этом случае особая точка А называется узловой или точкой самопересечения (рис. 6). Пример. – лемниската.	Рис. 6

3) .Тогда дискриминант уравнения D= 0 и корни его вещественные и равные. В этом случае различные ветви кривой, подходя к особой точке, имеют общую касательную с угловым коэффициентом . Этот случай встречается в геометрически различных формах. Рассмотрим некоторые примеры.

Рис. 7	Пример 1. (рис. 7). В точке , . Т.о. точка О – двойная особая точка. Для неё . Уравнение имеет вид: . Отсюда имеем, что касательная – ось ОХ. В этом случае говорят, что точка О – точка возврата 1-го рода. Ветви кривой расположены по разные стороны от касательной к этой кривой. Этот случай наиболее типичен. Но возможны и другие случаи.
Х Рис. 8	Пример 2. (рис. 8). Как и в предыдущем случае, в точке , . Т.е. опять . Но ветви кривой в окрестности т. О расположены по одну сторону от касательной к этой кривой. Это точка возврата 2-го рода. Пример 3. (рис. 9). График, очевидно, это совокупность двух парабол: и . В этом случае точка О называется точкой самоприкосновения.
Рис. 9	Случай тройной особой точки читателю рекомендуется исследовать самостоятельно.