Дифференциал вектор-функции

По определению производной . По определению предела , где вектор . Из последнего равенства получаем

.

Представим вектор-функцию как радиус-вектор некоторой кривой в её параметрическом представлении. Из геометрических соображений ясно, что . Правая часть есть сумма векторов и , т.е. и . Пусть у нас . Тогда точка и точка . Длина вектора

Рис. 14

как бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Вектор же остаётся «постоянным», т.е. его направление постоянно, длина же меняется пропорционально множителю .

Вектор называется главной (линейной) частью смещения (или дифференциалом) вектор-функции в точке . Т.е. откуда следует .

Замечание. Если t – время, то траектория движения материальной точки есть . Тогда в бесконечно малый промежуток времени смещение точки можно считать по формуле , т.е. считать движение равномерным и прямолинейным.

Если этот подход распространить на все точки кривой, то можно сделать вывод, что криволинейное неравномерное движение суть совокупность равномерных прямолинейных движений в бесконечно малом.

Лемма 1. Если вектор-функция сохраняет постоянный модуль, т.е. , то для любого t .

Доказательство. Равенство продифференцируем по t: , т.е. векторы и ортогональны.

В частности, лемма справедлива и для единичных векторов. Для нас этот факт будет важен в дальнейшем.

Пусть в момент времени t мы имеем вектор-функцию , а в момент – вектор-функцию . называется скоростью вращения вектор-функции по отношению к её аргументу t. Лемма 2. Если , то скорость её вращения равна . Доказательство. Пусть = =1	О М´ ! j Рис. 15
(рис. 16). Тогда величина угла . Составим отношение . Здесь ММ´ – длина хорды. Разность векторов , откуда . Из	М´ Рис. 16

. При первый сомножитель в правой части стремится к , второй – к единице. Лемма доказана.

Из леммы имеем: , где . Из последнего равенства имеем: . Если считать и , получим: бесконечно малая величина.