Соприкасающаяся окружность

Кривизна – важнейшая характеристика кривой. В бесконечно малом, в окрестности рассматриваемой точки кривой для исследования поведения кривой в этой точке мы заменяем кривую близким геометрическим объектом, более простым и наглядным. Таким простейшим геометрическим объектом до сих пор была касательная – прямая в рассматриваемой точке кривой. Т.е. кривую мы отождествляли с прямой с точностью О (! t): в разложении по формуле Тейлора мы пренебрегали слагаемыми порядка О (! t ²).

Если же такая точность нас не устраивает, то мы должны найти такой образ, который был бы

а) достаточно простым,

б) приближал бы нашу кривую с точностью О (! t ²).

Таким простым геометрическим образом является окружность.

Пусть кривая С задана параметрически: Тогда Уравнение окружности будем искать в виде . Наша задача – найти параметры окружности a, b, R. Уклонение окружности от кривой будем оценивать через расстояние LM, точнее, через разность координат точек L и М. Мы должны подобрать пара-

М (х, у) М 0(х 0, у 0) Рис. 21

метры окружности a, b, R так, чтобы . Тогда мы и будем иметь касание второго порядка. Итак, . Покажем, что разность имеет тот же порядок малости, что и . Для этого найдём .

Для исследования уклонения LM нам удобнее исследовать выражение . OL=R, (см. рис. 21). Тогда . Разложим j (t) по формуле Тейлора в окрестности точки t ₀:

.

Потребуем, чтобы j (t)= О (! t ³). Тогда должны быть выполнены равенства: j (t ₀) = j¢ (t ₀) = j² (t ₀) или

Из последних двух уравнений находим разности и :

Естественно, для справедливости формул мы предполагаем, что знаменатель в них отличен от нуля. Тогда из можно найти центр соприкасающейся окружности (a, b), а затем из первого из равенств – её радиус: (Доказать самим)

Центр соприкасающейся окружности (a, b) называется центром кривизны кривой в точке t=t ₀, а R – радиусом кривизны.

В случае же обращения в нуль знаменателя в формулах, т.е. , у нас и соприкасающаяся окружность превращается в касательную. В этом случае точка М ₀ называется точкой распрямления.

Если же кривая С задана явно, т.е. , формулы и примут вид:

Замечание. Уклонение LM в качестве главной своей части имеет слагаемое , которое меняет свой знак при переходе через точку t ₀. Т.е. LM меняет знак при переходе через точку касания М ₀. Следовательно, кривая в точке касания, вообще говоря, переходит с одной стороны соприкасающейся окружности на другую.