Формулы Френе

Когда точка М движется по кривой , то векторы и также зависят от s: , . В настоящем параграфе мы выясним, как меняются от s векторы и . Согласно лемме 2 предыдущей главы , где

! a – угол поворота вектора , отвечающий изменению длины! s. Но левая часть есть кривизна кривой, откуда .

Вектор направлен по нормали к кривой в сторону вектора . Т.к. длина равна 1, то

.

Заметим, что для точек распрямления k= 0. Тогда из следует, что или . Т.е. для точек распрямления действительно .

Рассмотрим теперь вектор Согласно лемме 1 . Т.е. вектор направлен по касательной к кривой, следовательно, Найдём множитель a. Векторы и ортогональны, т.е. . Дифференцируя это равенство, получим . Используя и, из последнего равенства имеем: . Но и – единичные векторы, поэтому последнее равенство даёт , откуда .Тогда из следует .

Итак, формулы Френе для плоской кривой имеют вид: