Необхідна умова екстремуму

Точка є точкою екстремуму функції якщо похідна функції в цій точці дорівнює нулю або не існує.

- точка екстремуму

Достатня умова екстремуму.

Якщо функція неперервна в точці і похідна функції змінює знак в цій точці, то - точка екстремуму функції

у точці знак змінюється з «+» на «-

- точка максимуму

у точці знак змінюється з «-«на «+»

- точка мінімуму

Алгоритм дослідження функції на зростання (спадання) та екстремуми.

1. Знайти область визначення та інтервали, на яких функція неперервна.

2. Знайти похідну

3. Знайти критичні точки:

а)

б) не існує.

4. Позначити критичні точки на області визначення функції, розбити цими точками область визначення на інтервали. Знайти знак похідної на кожному інтервалі.

5. Знайти проміжки зростання та проміжки спадання .

6. Визначити точки екстремуму і . Знайти і

Приклад 4.9. Дослідити функцію на зростання (спадання) та екстремуми.

Розв’язання

.

1. 2)

3.

4. РИС. 27.

5. зростає при спадає при

6.